3784-1
Информация о задаче
Задача №3784 параграфа №1 главы №13 "Криволинейные интегралы и интегралы по поверхности" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти массу участка линии [math]y=\ln{x}[/math] между точками с абсциссами [math]x_1[/math] и [math]x_2[/math], если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
Решение
Так как область определения функции [math]y=\ln{x}[/math] есть [math]D(f)=\left(0;+\infty\right)[/math], то [math]x_1\gt{0}[/math] и [math]x_2\gt{0}[/math]. Для определённости примем [math]x_2\gt{x_1}[/math].
[dmath] ds=\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx=\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx [/dmath]
Так как плотность [math]\gamma = x^2[/math], то получим:
[dmath] M=\int\limits_{x_1}^{x_2}x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}x\sqrt{x^2+1}dx=\\ =\frac{1}{2}\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(x^2+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(x^2+1\right) =\frac{1}{3}\cdot\left.\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{x_1}^{x^2} =\frac{\left(x_{2}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x_{1}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} [/dmath]
Ответ
[math]\frac{\left(x_{2}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(x_{1}^{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3}[/math]
