Просмотр кода страницы 2843-1

{{h1}}{{h09-1}}{{h03-09-1}}
== Информация о задаче ==
{{info1|2843|3|9|"Ряды"}}

== Условие задачи ==
Разложить функцию <math>y=\frac{1}{x}</math> в ряд Тейлора в окрестности точки <math>x=3</math>.
== Решение ==
<dmath>y(3)=\frac{1}{3}</dmath>

Найдём формулу для <math>y^{(n)}</math>:

<dmath>
\begin{aligned}
& y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2};\\
& y''=-1\cdot(-2)\cdot{x^{-3}};\\
& y'''=-1\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot{x^{-4}}.
\end{aligned}
</dmath>

На основании полученных результатов сделаем предположение, что производная n-го порядка имеет такой вид:

<dmath>y^{(n)}=-1\cdot(-2)\cdot\ldots\cdot{x^{-(n+1)}}=(-1)^n\cdot{n!}\cdot{x^{-(n+1)}}</dmath>

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. При <math>n=1</math> формула верна, т.е. <math>y'=-1\cdot{1!}\cdot{x^{-2}}=-\frac{1}{x^2}</math>. Пусть формула верна при <math>n=k</math>, т.е <math>y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}</math>. Покажем, что формула остаётся истинной и при <math>n=k+1</math>:

<dmath>
y^{(k+1)}
=\left(y^{(k)}\right)'
=\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{x^{-(k+1)}}\right)'
=(-1)^k\cdot{k!}\cdot(-(k+1)){x^{-(k+1)-1}}
=(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{x^{-(k+2)}}
</dmath>

Итак, формула для <math>y^{(n)}</math> верна при всех <math>n\in{N}</math>. Подставляя <math>x=3</math>, будем иметь:

<dmath>y^{(n)}(3)=\frac{(-1)^n\cdot{n!}}{3^{n+1}}</dmath>

Запишем разложение функции в ряд Тейлора:

<dmath>
y=y(3)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{y^{(n)}(3)\cdot(x-3)^n}{n!}
=\frac{1}{3}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}
=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}
</dmath>

== Ответ ==
<math>\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\cdot(x-3)^n}{3^{n+1}}</math>

{{f1}}{{f09-1}}{{f03-09-1}}