2480-1
Информация о задаче
Задача №2480 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией [math]y=e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2[/math], осью Ox и двумя прямыми, параллельными оси Oy, проведёнными через точки экстремума функции [math]y[/math].
Решение
Область определения данной функции: [math]D(y)=R[/math].
[dmath] y'=e^{-x}\cdot(-x^2-x+2)=-e^{-x}\cdot(x-1)(x+2) [/dmath]
Функция убывает при [math]x\in(-\infty;-2)[/math] и [math]x\in(1;+\infty)[/math]. Функция возрастает при [math]x\in(-2;1)[/math].
[dmath] \begin{aligned} & x_{\min}=-2;\;y_{\min}=y(-2)=0.\\ & x_{\max}=1;\;y_{\max}=y(1)=5e^{-1}+e^2. \end{aligned} [/dmath]
Отметим, что так как [math]y(-2)=0[/math], то график пересекает ось абсцисс или касается её при [math]x=-2[/math]. Значение [math]y=0[/math] является наименьшим при [math]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)[/math]. Это значит, что при [math]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)[/math] график функции лежит над осью абсцисс. Впрочем, если [math]x\ge{1}[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график функции лежит над осью Ox на всей области определения, кроме точки [math]x=-2[/math], в которой график касается оси абсцисс.
[dmath] S=\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2\right)dx =\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}\left(x^2+3x\right)dx+\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}+e^2\right)dx =\left[\begin{aligned} & u=x^2+3x;\;du=(2x+3)dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right]=\\ =\left.-e^{-x}\left(x^2+3x\right)\right|_{-2}^{1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx+\left.\left(-e^{-x}+xe^2\right)\right|_{-2}^{1} =2e^2-5e^{-1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx =\left[\begin{aligned} & u=2x+3;\;du=2dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right]=\\ =2e^2-5e^{-1}-\left.e^{-x}\left(2x+3\right)\right|_{-2}^{1}+2\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}dx =3e^2-\frac{12}{e}. [/dmath]
Ответ
[math]3e^2-\frac{12}{e}[/math]
