2021-1
Информация о задаче
Задача №2021 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx[/math].
Решение
Разделив многочлен в числителе дроби на многочлен в знаменателе, получим:
[dmath] x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4 =\left(x^5-5x^3+4x\right)x+3x^4+3x^3-13x^2+4 [/dmath]
Для подынтегральной дроби получим:
[dmath] \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x} =x+\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}=\\ =x+\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{x+2} [/dmath]
Значения параметров [math]A[/math], [math]B[/math], [math]C[/math], [math]D[/math], [math]E[/math] найдём методом вычёркивания, который описан в первом томе двухтомника Ильина и Позняка "Основы математического анализа" (2005 г, глава №7, параграф №7).
Например, чтобы найти значение [math]A[/math], вычёркиваем [math]x[/math] в дроби [math]\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}[/math], а в оставшееся выражение подставляем [math]x=0[/math]:
[dmath] A =\left.\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}\right|_{x=0} =1. [/dmath]
Продолжая этот процесс, получим [math]B=\frac{1}{2}[/math], [math]C=\frac{3}{2}[/math], [math]D=1[/math], [math]E=-1[/math].
Возвращаясь к исходному интегралу, получим:
[dmath] \int\frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx =\frac{x^2}{2}+\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln|x+1|+\ln|x-2|-\ln|x+2|+C [/dmath]
Ответ
[math]\frac{x^2}{2}+\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x-1|+\frac{3}{2}\ln|x+1|+\ln|x-2|-\ln|x+2|+C[/math]
