1884-1
Информация о задаче
Задача №1884 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} =\left|\begin{aligned}&t=\sqrt{1+e^x};\;x=\ln\left(t^2-1\right).\\&dx=\frac{2tdt}{t^2-1}.\end{aligned}\right|=\\ =\int\frac{2tdt}{t\cdot\left(t^2-1\right)} =2\int\frac{dt}{t^2-1} =\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|+C =\ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C [/dmath]
Ввиду того, что [math]\sqrt{1+e^x}\gt{1}[/math], имеем [math]\sqrt{1+e^x}-1\gt{0}[/math]. Следовательно, знак модуля можно опустить:
[dmath] \ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}\right|+C =\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C [/dmath]
Ответ
[math]\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C[/math]
