1881-1
Информация о задаче
Задача №1881 параграфа №2 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}[/math].
Решение
[dmath] \int\frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} =\left[\begin{aligned}& u=\sqrt[4]{x};\,x=u^4.\\& dx=4u^3du.\end{aligned}\right] =\int\frac{4u^3du}{u^2+u}=\\ =4\int\frac{u^2}{u+1}du =4\int\frac{u^2-1+1}{u+1}du =4\int\frac{(u-1)(u+1)+1}{u+1}du=\\ =4\int\left(u-1+\frac{1}{u+1}\right)du =4\cdot\left(\frac{u^2}{2}-u+\ln|u+1|\right)+C =2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left(\sqrt[4]{x}+1\right)+C [/dmath]
Небольшое примечание: так как [math]\sqrt[4]{x}\ge{0}[/math] при всех допустимых значениях переменной, то [math]\sqrt[4]{x}+1\gt{0}[/math], поэтому [math]\left|\sqrt[4]{x}+1\right|=\sqrt[4]{x}+1[/math]. Следовательно, вместо [math]\left|\sqrt[4]{x}+1\right|[/math] можно записать [math]\sqrt[4]{x}+1[/math], что и было сделано.
Ответ
[math]2\sqrt{x}-4\sqrt[4]{x}+4\ln\left(\sqrt[4]{x}+1\right)+C[/math]
