13 002 (3): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(3)}}{{(4)(3)}}{{(13)(4)(3)}} == Информация о задаче == {{info(3)|2|13|"Свойства сходящихся рядов"}} == Условие...»)
 
Строка 39: Строка 39:
 
Данный пример оформлен в решебнике Бермана: [[№2732_(1)|№2732]].
 
Данный пример оформлен в решебнике Бермана: [[№2732_(1)|№2732]].
  
 +
=== Пункт №4 ===
 +
Процесс разложения общего члена ряда на элементарные дроби стандартный, поэтому сразу укажем результат:
  
 +
<dmath>
 +
u_n=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+5}
 +
</dmath>
 +
 +
Запишем и упростим частичную сумму ряда:
 +
 +
<dmath>
 +
S_n
 +
=\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+5}\right)
 +
=\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}=\\
 +
 +
=\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+5}\right)+\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)
 +
 +
=\frac{1}{60}-\frac{1}{8(2n+3)}+\frac{1}{8(2n+5)}
 +
</dmath>
 +
 +
Сумма ряда такова:
 +
 +
<dmath>
 +
S
 +
=\lim_{n\to\infty}S_n
 +
=\frac{1}{60}.
 +
</dmath>
 +
 +
 +
=== Пункт №5 ===
 +
 +
Тут выгодно представить общий член ряда <math>u_n=\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}</math> в виде <math>u_n=b_{n+1}-b_n</math>. Выражение для <math>b_n</math> будем искать в такой форме: <math>b_n=\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}</math>. В этом случае <math>b_{n+1}=\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
b_{n+1}-b_n
 +
=\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}
 +
=\frac{-3c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}
 +
</dmath>
 +
 +
Так как <math>u_n=b_{n+1}-b_n</math>, то <math>-3c=1</math>, откуда <math>c=-\frac{1}{3}</math>. Итак, <math>b_n=-\frac{1}{3(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}</math>. Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:
 +
 +
<dmath>
 +
\begin{aligned}
 +
&amp; S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\left(-\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}\right)=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}.\\
 +
&amp; S=0-b_1=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}.
 +
\end{aligned}
 +
</dmath>
  
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
 +
 +
Все пункты решены.
  
 
[[Категория:Параграф №13 (3)|№]]
 
[[Категория:Параграф №13 (3)|№]]

Версия 10:53, 2 августа 2020

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №13 "Свойства сходящихся рядов" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти n-ю частичную сумму [math]S_n[/math] ряда и сумму [math]S[/math] этого ряда.

  1. [math]\frac{1}{3\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots[/math]
  2. [math]\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{7}}+\ldots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\ldots[/math]
  3. [math]\frac{1}{1\cdot{2}\cdot{3}}+\frac{1}{2\cdot{3}\cdot{4}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}+\ldots[/math]
  4. [math]\frac{1}{3\cdot{5}\cdot{7}}+\frac{1}{5\cdot{7}\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+3)\cdot(2n+5)}+\ldots[/math]
  5. [math]\frac{1}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+\ldots+\frac{1}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)(a+n+3)}+\ldots[/math]

Решение

Пункт №1

Разложим общий член ряда на элементарные дроби:

[dmath]u_n=\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n+3-(n+2)}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}[/dmath]

В принципе, можем записать общий член вот так:

[dmath] u_n=\frac{-1}{n+3}-\frac{-1}{n+2} [/dmath]

Обозначив [math]b_n=\frac{-1}{n+2}[/math], получим, что [math]u_n=b_{n+1}-b_{n}[/math], причём [math]\lim_{n\to\infty}b_n=0[/math]. Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:

[dmath] \begin{aligned} & S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{n+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.\\ & S=0-b_1=\frac{1}{3}. \end{aligned} [/dmath]

Это, конечно же, не единый вариант решения. В следующих двух пунктах решение будет сделано по-иному.

Пункт №2

Данный пример оформлен в решебнике Бермана: №2729.

Пункт №3

Данный пример оформлен в решебнике Бермана: №2732.

Пункт №4

Процесс разложения общего члена ряда на элементарные дроби стандартный, поэтому сразу укажем результат:

[dmath] u_n=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2n+5} [/dmath]

Запишем и упростим частичную сумму ряда:

[dmath] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2k+5}\right) =\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{4}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+3}+\frac{1}{8}\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}=\\ =\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2n+3}-\frac{1}{2n+5}\right)-\frac{1}{4}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+5}\right)+\frac{1}{8}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right) =\frac{1}{60}-\frac{1}{8(2n+3)}+\frac{1}{8(2n+5)} [/dmath]

Сумма ряда такова:

[dmath] S =\lim_{n\to\infty}S_n =\frac{1}{60}. [/dmath]


Пункт №5

Тут выгодно представить общий член ряда [math]u_n=\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}[/math] в виде [math]u_n=b_{n+1}-b_n[/math]. Выражение для [math]b_n[/math] будем искать в такой форме: [math]b_n=\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}[/math]. В этом случае [math]b_{n+1}=\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}[/math].

[dmath] b_{n+1}-b_n =\frac{c}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\frac{c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)} =\frac{-3c}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)(a+n+2)} [/dmath]

Так как [math]u_n=b_{n+1}-b_n[/math], то [math]-3c=1[/math], откуда [math]c=-\frac{1}{3}[/math]. Итак, [math]b_n=-\frac{1}{3(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}[/math]. Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:

[dmath] \begin{aligned} & S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}-\left(-\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}\right)=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}-\frac{1}{3(a+n)(a+n+1)(a+n+2)}.\\ & S=0-b_1=\frac{1}{3a(a+1)(a+2)}. \end{aligned} [/dmath]

Ответ

Все пункты решены.