13 002 (3): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(3)}}{{(4)(3)}}{{(13)(4)(3)}} == Информация о задаче == {{info(3)|2|13|"Свойства сходящихся рядов"}} == Условие...»)
(нет различий)

Версия 23:31, 1 августа 2020

Информация о задаче

Задача №2 параграфа №13 "Свойства сходящихся рядов" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №2, 2003 г.).

Условие задачи

Найти n-ю частичную сумму [math]S_n[/math] ряда и сумму [math]S[/math] этого ряда.

  1. [math]\frac{1}{3\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{(n+2)(n+3)}+\ldots[/math]
  2. [math]\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{4\cdot{7}}+\ldots+\frac{1}{(3n-2)(3n+1)}+\ldots[/math]
  3. [math]\frac{1}{1\cdot{2}\cdot{3}}+\frac{1}{2\cdot{3}\cdot{4}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}+\ldots[/math]
  4. [math]\frac{1}{3\cdot{5}\cdot{7}}+\frac{1}{5\cdot{7}\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n+1)\cdot(2n+3)\cdot(2n+5)}+\ldots[/math]
  5. [math]\frac{1}{a(a+1)(a+2)(a+3)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)}+\ldots+\frac{1}{(a+n)(a+n+1)(a+n+2)(a+n+3)}+\ldots[/math]

Решение

Пункт №1

Разложим общий член ряда на элементарные дроби:

[dmath]u_n=\frac{1}{(n+2)(n+3)}=\frac{n+3-(n+2)}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}[/dmath]

В принципе, можем записать общий член вот так:

[dmath] u_n=\frac{-1}{n+3}-\frac{-1}{n+2} [/dmath]

Обозначив [math]b_n=\frac{-1}{n+2}[/math], получим, что [math]u_n=b_{n+1}-b_{n}[/math], причём [math]\lim_{n\to\infty}b_n=0[/math]. Согласно свойству, упомянутому в текущем параграфе №13, получим:

[dmath] \begin{aligned} & S_n=b_{n+1}-b_1=-\frac{1}{n+3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{n+3}.\\ & S=0-b_1=\frac{1}{3}. \end{aligned} [/dmath]

Это, конечно же, не единый вариант решения. В следующих двух пунктах решение будет сделано по-иному.

Пункт №2

Данный пример оформлен в решебнике Бермана: №2729.

Пункт №3

Данный пример оформлен в решебнике Бермана: №2732.


Ответ