1035-1
Информация о задаче
Задача №1035 параграфа №5 главы №3 "Производная и дифференциал. Дифференциальное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти общее выражение для производной порядка [math]n[/math] функции [math]y=\frac{1}{ax+b}[/math].
Решение
Случай [math]a=0[/math] рассматривается элементарно. Пусть [math]a\neq{0}[/math].
[dmath] \begin{aligned} & y'=-a\cdot{(ax+b)^{-2}};\\ &y''=-1\cdot{(-2)}\cdot{a^2}\cdot{(ax+b)^{-3}};\\ &y'''=-1\cdot{(-2)}\cdot{(-3)}\cdot{a^3}\cdot{(ax+b)^{-4}}. \end{aligned} [/dmath]
Исходя из полученных результатов, можно предположить, что выражение для [math]y^{(n)}[/math] будет таким:
[dmath] y^{(n)}=-1\cdot{(-2)}\cdot\ldots\cdot{(-n)}\cdot{a^n}\cdot(ax+b)^{-(n+1)} =(-1)^n\cdot{n!}\cdot{a^n}\cdot(ax+b)^{-n-1} [/dmath].
Докажем это методом математической индукции. При [math]n=1[/math] равенство верно. Пусть оно верно и при [math]n=k[/math], т.е. [math]y^{(k)}=(-1)^k\cdot{k!}\cdot{a^k}\cdot(ax+b)^{-k-1}[/math]. Проверим выполнение равенства при [math]n=k+1[/math]:
[dmath] y^{(k+1)} =\left((-1)^k\cdot{k!}\cdot{a^k}\cdot(ax+b)^{-k-1}\right)' =(-1)^{k+1}\cdot{(k+1)!}\cdot{a^{k+1}}\cdot(ax+b)^{-k-2} [/dmath]
Равенство истинно при [math]n=k+1[/math], поэтому согласно методу математической индукции, формула [math]y^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}[/math] верна при всех [math]n\in{N}[/math].
Ответ
[math]y^{(n)}=\frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}}[/math]
