0526-5
Информация о задаче
Задача №526 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}}[/math].
Решение
Рассмотрим вспомогательный предел:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}{x} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{\sin\frac{\sqrt{x}}{2}}{\frac{\sqrt{x}}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}. [/dmath]
Вернёмся к исходному пределу:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\sqrt[x]{\cos\sqrt{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(\cos\sqrt{x}\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\cos\sqrt{x}-1\right)^{\frac{1}{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(1-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}\right)^{\frac{1}{-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}}\right)^{\frac{-2\sin^2\frac{\sqrt{x}}{2}}{x}} =e^{-\frac{1}{2}} =\frac{1}{\sqrt{e}}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{1}{\sqrt{e}}[/math]
