0521-5

Материал из Решебника

Версия от 16:24, 13 декабря 2021; Алексей (обсуждение | вклад)
(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Информация о задаче

Задача №521 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).

Условие задачи

Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}[/math].

Решение

С помощью первого замечательного предела несложно получить такой результат: [math]\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}=\frac{3}{2}[/math]. С учётом данного предела, будем иметь:

[dmath] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}}{\cos{2x}}-1\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{\cos{x}-\cos{2x}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{1}{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{\cos{2x}}\right)^{\frac{\cos{2x}}{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}}\right)^{\frac{2\sin\frac{3x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x^2\cos{2x}}} =e^{\frac{3}{2}}. [/dmath]

Ответ

[math]e^{\frac{3}{2}}[/math]

Заметили ошибку, опечатку, или неправильно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).