04 010 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
Строка 4: Строка 4:
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 
Доказать, что для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math> справедливы равенства:
 
Доказать, что для любых чисел <math>a</math> и <math>b</math> справедливы равенства:
# <math>a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}</math>.
+
# <math>a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}.</math>
# <math>a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}</math>.
+
# <math>a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}.</math>
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
Отмечу, что в первом пункте при <math>k=0</math> получим слагаемое <math>b^0 a^n</math>, которое не имеет смысла при <math>b=0</math>. Если же <math>k=n</math>, то получим слагаемое <math>b^n a^0</math>, не имеющее смысла при <math>a=0</math>. Поэтому значения <math>a=0</math> и <math>b=0</math> нужно исключить из рассмотрения. Аналогичные замечания касаются и второго пункта. Т.е. формулы верны не для "любых чисел <math>a</math> и <math>b</math>", а для чисел <math>a</math> и <math>b</math>, отличных от нуля.
 +
  
 
=== Пункт №1 ===
 
=== Пункт №1 ===
Строка 13: Строка 16:
 
<dmath>
 
<dmath>
 
(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}  
 
(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}  
=a\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}-b\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}
+
=\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n}b^{k+1}a^{n-k}=\\
=a\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k}+a^n\right)+b\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^ka^{n-k}+b^n\right)=\\  
+
 
+
=a^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-b^{n+1}
=a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}  
+
=a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}
=a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}  
 
 
=a^{n+1}-b^{n+1}
 
=a^{n+1}-b^{n+1}
 +
</dmath>
 +
 +
=== Пункт №2 ===
 +
 +
<dmath>
 +
(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}
 +
=\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}
 +
=a^{2n+1}+\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\
 +
 +
=a^{2n+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k+1}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}
 +
=a^{2n+1}+b^{2n+1}-\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}
 +
=a^{2n+1}+b^{2n+1}.
 
</dmath>
 
</dmath>
  
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
Равенство доказано.
+
Равенства доказаны.
  
 
[[Категория:Параграф №04 (2)|№]]
 
[[Категория:Параграф №04 (2)|№]]

Текущая версия на 00:03, 29 июля 2020

Информация о задаче

Задача №4 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что для любых чисел [math]a[/math] и [math]b[/math] справедливы равенства:

  1. [math]a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k}.[/math]
  2. [math]a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k}.[/math]

Решение

Отмечу, что в первом пункте при [math]k=0[/math] получим слагаемое [math]b^0 a^n[/math], которое не имеет смысла при [math]b=0[/math]. Если же [math]k=n[/math], то получим слагаемое [math]b^n a^0[/math], не имеющее смысла при [math]a=0[/math]. Поэтому значения [math]a=0[/math] и [math]b=0[/math] нужно исключить из рассмотрения. Аналогичные замечания касаются и второго пункта. Т.е. формулы верны не для "любых чисел [math]a[/math] и [math]b[/math]", а для чисел [math]a[/math] и [math]b[/math], отличных от нуля.


Пункт №1

[dmath] (a-b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k} =\sum\limits_{k=0}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n}b^{k+1}a^{n-k}=\\ =a^{n+1}+\sum\limits_{k=1}^{n}b^ka^{n-k+1}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-b^{n+1} =a^{n+1}-b^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k}-\sum\limits_{k=0}^{n-1}b^{k+1}a^{n-k} =a^{n+1}-b^{n+1} [/dmath]

Пункт №2

[dmath] (a+b)\cdot\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k} =\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^kb^ka^{2n-k+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k}=\\ =a^{2n+1}+b^{2n+1}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k+1}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+b^{2n+1}-\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^{k}b^{k+1}a^{2n-k}+\sum\limits_{k=0}^{2n-1}(-1)^kb^{k+1}a^{2n-k} =a^{2n+1}+b^{2n+1}. [/dmath]

Ответ

Равенства доказаны.