04 008 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(2)}}{{(1)(2)}}{{(04)(1)(2)}} == Информация о задаче == {{info(2)|8|4|"Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютон...»)
 
(нет различий)

Текущая версия на 19:25, 28 июля 2020

Информация о задаче

Задача №8 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Доказать, что последовательность [math]\left\{b_n\right\}[/math] отличных от нуля чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда при каждом [math]n\ge{3}[/math] выполняется равенство

[dmath] \left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots+b_{n-1}^{2}\right)\cdot\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\ldots+b_{n}^{2}\right) = \left(b_1b_2+b_2b_3+\ldots+b_{n-1}b_n\right)^2 [/dmath]

Решение

Попытка раскрыть скобки и перенести все слагаемые в левую часть равенства приводит нас к такой гипотезе:

[dmath] \left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\ldots+b_{n-1}^{2}\right)\cdot\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\ldots+b_{n}^{2}\right)-\left(b_1b_2+b_2b_3+\ldots+b_{n-1}b_n\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 [/dmath]

Впрочем, удобнее использовать более компактную запись:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{i=1}^{n-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{n}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{n-1}b_ib_{i+1}\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

Докажем эту гипотезу методом математической индукции. Сперва проверим её при [math]n=3[/math]. Запишем обе части равенства [math]\eqref{eq:1}[/math] при [math]n=3[/math]:

[dmath] \begin{aligned} & \left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)\cdot\left(b_{2}^{2}+b_{3}^{2}\right)-\left(b_1b_2+b_2b_3\right)^2 =b_{1}^{2}b_{3}^{2}-2b_1b_{2}^{2}b_3+b_{2}^{4} =\left(b_1b_3-b_{2}^{2}\right)^2.\\ & \sum\limits_{j=1}^{1}\sum\limits_{i=j+2}^{3}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 =\sum\limits_{i=3}^{3}\left(b_1b_i-b_2b_{i-1}\right)^2 =\left(b_1b_3-b_2b_2\right)^2 =\left(b_1b_3-b_{2}^{2}\right)^2. \end{aligned} [/dmath]

Как видим, при [math]n=3[/math] равенство верно. Пусть равенство [math]\eqref{eq:1}[/math] истинно при [math]n=k[/math], т.е.

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 [/dmath]

Докажем, что оно истинно и при [math]n=k+1[/math].

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{k}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k+1}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k}b_ib_{i+1}\right)^2 =\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}+b_{k}^{2}\right)\cdot\left(\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}+b_{k+1}^{2}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}+b_kb_{k+1}\right)^2=\\ =\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2}\cdot\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}-\left(\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}\right)^2+b_{k}^{2}\sum\limits_{i=2}^{k}b_{i}^{2}+b_{k+1}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2} -2b_kb_{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}=\\ =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 +b_{k}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2} +b_{k+1}^{2}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_{i}^{2} -2b_kb_{k+1}\sum\limits_{i=1}^{k-1}b_ib_{i+1}=\\ =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1}\left(b_ib_{k+1}-b_{i+1}b_k\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 [/dmath]

Равенство доказано при [math]n=k+1[/math]. Если последнее равенство записанной выше цепочки вам кажется не очевидным, то его легко проверить, сделав переход от выражения в правой части к выражению в левой части равенства:

[dmath] \sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\left(b_{k-1}b_{k+1}-b_{k}^{2}\right)^2=\\ =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\left(\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_{k}\right)^2\right)+\left(b_{k-1}b_{k+1}-b_{k}^{2}\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2 [/dmath]

Итак, формула [math]\eqref{eq:1}[/math] истинна при [math]n\ge{3}[/math]. Таким образом, заданное по условию равенство можно записать так:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Теперь обратимся к последовательности [math]\left\{b_n\right\}[/math] и докажем, что выполнение равенства [math]\eqref{eq:2}[/math] является необходимым и достаточным условием того, что [math]\left\{b_n\right\}[/math] – геометрическая прогрессия.

Сперва докажем необходимость. Покажем, что если [math]\left\{b_n\right\}[/math] является геометрической прогрессией, то равенство [math]\eqref{eq:2}[/math] истинно. Если [math]\left\{b_n\right\}[/math] – геометрическая прогрессия, то [math]b_k=b_1q^{k-1}[/math].

[dmath] \sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2 =\sum\limits_{j=1}^{n-2}\sum\limits_{i=j+2}^{n}\left(b_1q^{i+j-2}-b_1q^{i+j-2}\right)^2 =0. [/dmath]

Необходимость доказана. Докажем теперь достаточность, т.е. что из выполнения равенства [math]\eqref{eq:2}[/math] следует, что [math]\left\{b_n\right\}[/math] – геометрическая прогрессия. Можно, конечно, эту достаточность показать умозрительными рассуждениями, но лучше подойти к вопросу формально. Докажем, что при любом [math]n\ge{3}[/math] из выполнения равенства [math]\eqref{eq:2}[/math] следует, что [math]\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q[/math], [math]i=\overline{2;\;n}[/math]. Иными словами, что [math]\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_n}{b_{n-1}}=q[/math]. Напомню, что согласно условию, члены последовательности [math]\left\{b_n\right\}[/math] отличны от нуля.

Для доказательства используем метод математической индукции. При [math]n=3[/math] имеем:

[dmath] \sum\limits_{j=1}^{1}\sum\limits_{i=j+2}^{3}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\; \sum\limits_{i=3}^{3}\left(b_1b_i-b_2b_{i-1}\right)^2=0;\; \left(b_1b_3-b_2^2\right)^2=0;\; b_2^2=b_1b_3. [/dmath]

Равенство [math]b_2^2=b_1b_3[/math] говорит о том, что [math]b_1[/math], [math]b_2[/math] и [math]b_3[/math] – члены геометрической прогрессии. Из данного равенства сразу следует вывод [math]\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=q[/math].

Пусть при [math]n=k[/math] из истинности равенства [math]\sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0[/math] следует [math]\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q[/math], [math]i=\overline{2;\;k}[/math]. Докажем, что при [math]n=k+1[/math] из выполнения равенства [math]\sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0[/math] следует [math]\frac{b_{i}}{b_{i-1}}=q[/math], [math]i=\overline{2;\;k+1}[/math]

[dmath] \sum\limits_{j=1}^{k-1}\sum\limits_{i=j+2}^{k+1}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\\ \sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2+\sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2=0\;\Leftrightarrow \left\{\begin{aligned} & \sum\limits_{j=1}^{k-2}\sum\limits_{i=j+2}^{k}\left(b_jb_i-b_{j+1}b_{i-1}\right)^2=0;\\ & \sum\limits_{j=1}^{k-1}\left(b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k\right)^2=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Из первого равенства системы согласно сделанному предположению имеем [math]\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=q[/math]. Из второго равенства системы имеем, что для всех [math]j[/math] от 1 до [math]k-1[/math] верно равенство:

[dmath] b_jb_{k+1}-b_{j+1}b_k=0;\; \frac{b_{j+1}}{b_j}=\frac{b_{k+1}}{b_k}. [/dmath]

Иными словами, это означает, что [math]\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_3}{b_2}=\ldots=\frac{b_k}{b_{k-1}}=\frac{b_{k+1}}{b_k}=q[/math], т.е. доказываемое утверждение истинно и при [math]n=k+1[/math]. Следовательно, при любом [math]n\ge{3}[/math] из выполнения равенства [math]\eqref{eq:2}[/math] следует, что последовательность [math]\left\{b_n\right\}[/math] является геометрической прогрессией.

Ответ

Утверждение доказано.