04 007 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(2)}}{{(1)(2)}}{{(04)(1)(2)}} == Информация о задаче == {{info(2)|7|4|"Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютон...»)
 
 
(не показана 1 промежуточная версия этого же участника)
Строка 14: Строка 14:
 
В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k</math>. Если <math>q=1</math>, то получим:
 
В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму <math>S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k</math>. Если <math>q=1</math>, то получим:
  
<math>
+
<dmath>
 
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k
 
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k
 
=\frac{(n+1)n}{2}
 
=\frac{(n+1)n}{2}
</math>
+
</dmath>
  
 
Рассмотрим случай <math>q\neq{1}</math> в предположении, что <math>n\ge{2}</math>.
 
Рассмотрим случай <math>q\neq{1}</math> в предположении, что <math>n\ge{2}</math>.
  
<math>
+
<dmath>
 
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k
 
S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k
 
=q+\sum\limits_{k=2}^{n}kq^k
 
=q+\sum\limits_{k=2}^{n}kq^k
Строка 28: Строка 28:
 
=q+q\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k-nq^n\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1}
 
=q+q\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k-nq^n\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1}
 
=q+q\cdot\left(S_n-nq^n\right)+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}
 
=q+q\cdot\left(S_n-nq^n\right)+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q}
</math>
+
</dmath>
  
 
Мы пришли к равенству
 
Мы пришли к равенству
Строка 47: Строка 47:
 
К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии <math>n\ge{2}</math>, однако же она даёт верный результат и при <math>n=1</math>.
 
К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии <math>n\ge{2}</math>, однако же она даёт верный результат и при <math>n=1</math>.
  
Если в выражение <math>\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k</math> вместо <math>q</math> подставить <math>\frac{1}{q}</math>, то с учётом <math>\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}</math>, можно получить ещё одну формулу:
+
Если в выражение <math>\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k</math> вместо <math>q</math> подставить <math>\frac{1}{q}</math>, то с учётом <math>\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}</math>, можно записать формулу <math>\eqref{eq:1}</math> в таком виде:
  
 
<dmath>
 
<dmath>
Строка 66: Строка 66:
 
</dmath>
 
</dmath>
  
Таким образом, заданная сумма будет содержать <math>n</math> слагаемых, равных 1; <math>n-1</math> слагаемых, равных 10; <math>n-2</math> слагаемых, равных <math>10^2</math> и т.д., т.е. слагаемое <math>10^{i}</math> будет повторено <math>n-i</math> раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:
+
Заданная сумма будет содержать <math>n</math> слагаемых, равных 1; <math>n-1</math> слагаемых, равных 10; <math>n-2</math> слагаемых, равных <math>10^2</math> и т.д., т.е. слагаемое <math>10^{i}</math> будет повторено <math>n-i</math> раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:
  
 
<dmath>
 
<dmath>
Строка 102: Строка 102:
 
\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i}
 
\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i}
 
=n+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-i)10^{i}
 
=n+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-i)10^{i}
=n+n\sum\limits_{i=1}^{n}10^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}i10^{i}
+
=n+n\sum\limits_{i=1}^{n}10^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}i10^{i}=\\
=
+
 
 +
=n+n\cdot\frac{10\cdot\left(10^n-1\right)}{9}+\frac{10\left(1-n\cdot{10^n}\right)}{9}-\frac{100\left(1-10^{n-1}\right)}{81}
 +
=\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}.
 +
</dmath>
 +
 
 +
=== Пункт №2 ===
 +
С учётом формулы <math>\eqref{eq:2}</math> решение данного пункта тривиально. Разбиваем сумму на две и применяем готовые формулы:
 +
 
 +
<dmath>
 +
\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^i}
 +
=2\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}-\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i
 +
=\ldots
 +
</dmath>
 +
 
 +
=== Пункт №3 ===
 +
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу <math>\eqref{eq:1}</math> при условии <math>x\neq{1}</math>:
 +
<dmath>
 +
1+\sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)x^{i}
 +
=1+\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}
 +
 
 +
=\ldots
 +
</dmath>
 +
 
 +
Если же <math>x=1</math>, то мы получим сумму первых <math>n+1</math> членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
 +
 
 +
<dmath>
 +
1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}
 +
</dmath>
 +
 
 +
=== Пункт №4 ===
 +
Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу <math>\eqref{eq:1}</math> при условии <math>x\neq{1}</math>:
 +
<dmath>
 +
\sum\limits_{i=1}^{n}(n+1-i)x^{i}
 +
=(n+1)\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}
 +
=\ldots
 +
</dmath>
 +
 
 +
Если же <math>x=1</math>, то мы получим сумму первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.
 +
 
 +
<dmath>
 +
1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}
 
</dmath>
 
</dmath>
  
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
Равенство доказано.
+
# <math>\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}</math>
 +
В пунктах №2, №3 и №4 решение аналогично пункту №1.
  
 
[[Категория:Параграф №04 (2)|№]]
 
[[Категория:Параграф №04 (2)|№]]

Текущая версия на 14:19, 27 июля 2020

Информация о задаче

Задача №7 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти следующие суммы:

  1. [math]1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}[/math]
  2. [math]\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\ldots+\frac{2n-1}{2^n}[/math]
  3. [math]1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n[/math]
  4. [math]x^n+2x^{n-1}+\ldots+(n-1)x^2+nx[/math]

Решение

В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math]. Если [math]q=1[/math], то получим:

[dmath] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k =\frac{(n+1)n}{2} [/dmath]

Рассмотрим случай [math]q\neq{1}[/math] в предположении, что [math]n\ge{2}[/math].

[dmath] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=2}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(k+1)q^{k+1} =q+q\sum\limits_{k=1}^{n-1}kq^k+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1} =q+q\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k-nq^n\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1} =q+q\cdot\left(S_n-nq^n\right)+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/dmath]

Мы пришли к равенству

[dmath] S_n=q+qS_n-nq^{n+1}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/dmath]

Из этого равенства имеем:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}kq^k=\frac{q\left(1-nq^n\right)}{1-q}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{(1-q)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии [math]n\ge{2}[/math], однако же она даёт верный результат и при [math]n=1[/math].

Если в выражение [math]\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math] вместо [math]q[/math] подставить [math]\frac{1}{q}[/math], то с учётом [math]\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}[/math], можно записать формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] в таком виде:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{q^k} =\frac{1-nq^{-n}}{q-1}+\frac{1-q^{1-n}}{(q-1)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Теперь обратимся непосредственно к самой задаче.

Пункт №1

Запишем каждое слагаемое в заданной сумме в таком виде:

[dmath] \underbrace{11\ldots{1}}_{k}=1+10+100+\ldots+10^{k-1} [/dmath]

Заданная сумма будет содержать [math]n[/math] слагаемых, равных 1; [math]n-1[/math] слагаемых, равных 10; [math]n-2[/math] слагаемых, равных [math]10^2[/math] и т.д., т.е. слагаемое [math]10^{i}[/math] будет повторено [math]n-i[/math] раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:

[dmath] n+(n-1)10^1+(n-2)10^2+\ldots+10^{n-1} =\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]

Честно говоря, подобные умозрительные рассуждения всегда казались мне довольно зыбкими. Однако несложно подвести под них прочный фундамент, для чего используем метод математической индукции. Гипотеза такова:

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]

При [math]n=1[/math] равенство истинно. Пусть оно истинно и при [math]n=k[/math], т.е.

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}=\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i} [/dmath]

Докажем истинность равенства и при [math]n=k+1[/math]:

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1}=\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i)10^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i+1)10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{(k+1)-1}((k+1)-i)10^{i} [/dmath]

Итак, при [math]n=k+1[/math] равенство выполнено. Значит, оно выполняется для любого [math]n\in{N}[/math]. Теперь вернёмся к исходной задаче. Используя формулу [math]\eqref{eq:1}[/math], будем иметь:

[dmath] \sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} =n+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-i)10^{i} =n+n\sum\limits_{i=1}^{n}10^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}i10^{i}=\\ =n+n\cdot\frac{10\cdot\left(10^n-1\right)}{9}+\frac{10\left(1-n\cdot{10^n}\right)}{9}-\frac{100\left(1-10^{n-1}\right)}{81} =\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}. [/dmath]

Пункт №2

С учётом формулы [math]\eqref{eq:2}[/math] решение данного пункта тривиально. Разбиваем сумму на две и применяем готовые формулы:

[dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{2i-1}{2^i} =2\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2^i}-\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^i =\ldots [/dmath]

Пункт №3

Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] при условии [math]x\neq{1}[/math]: [dmath] 1+\sum\limits_{i=1}^{n}(i+1)x^{i} =1+\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i}+\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i} =\ldots [/dmath]

Если же [math]x=1[/math], то мы получим сумму первых [math]n+1[/math] членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.

[dmath] 1+2+\ldots+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2} [/dmath]

Пункт №4

Разбиваем сумму на две, затем применяем формулу [math]\eqref{eq:1}[/math] при условии [math]x\neq{1}[/math]: [dmath] \sum\limits_{i=1}^{n}(n+1-i)x^{i} =(n+1)\sum\limits_{i=1}^{n}x^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}ix^{i} =\ldots [/dmath]

Если же [math]x=1[/math], то мы получим сумму первых [math]n[/math] членов арифметической прогрессии, у которой первый член и разность равны 1, т.е.

[dmath] 1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2} [/dmath]

Ответ

  1. [math]\frac{10^{n+1}-9n-10}{81}[/math]

В пунктах №2, №3 и №4 решение аналогично пункту №1.