04 007 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(2)}}{{(1)(2)}}{{(04)(1)(2)}} == Информация о задаче == {{info(2)|7|4|"Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютон...»)
(нет различий)

Версия 10:19, 27 июля 2020

Информация о задаче

Задача №7 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти следующие суммы:

  1. [math]1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}[/math]
  2. [math]\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\ldots+\frac{2n-1}{2^n}[/math]
  3. [math]1+2x+3x^2+\ldots+(n+1)x^n[/math]
  4. [math]x^n+2x^{n-1}+\ldots+(n-1)x^2+nx[/math]

Решение

В самом начале решения стоит рассмотреть пару общих формул, которые будут необходимы в дальнейшем. Для начала рассмотрим сумму [math]S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math]. Если [math]q=1[/math], то получим:

[math] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}k =\frac{(n+1)n}{2} [/math]

Рассмотрим случай [math]q\neq{1}[/math] в предположении, что [math]n\ge{2}[/math].

[math] S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=2}^{n}kq^k =q+\sum\limits_{k=1}^{n-1}(k+1)q^{k+1} =q+q\sum\limits_{k=1}^{n-1}kq^k+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1} =q+q\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k-nq^n\right)+\sum\limits_{k=1}^{n-1}q^{k+1} =q+q\cdot\left(S_n-nq^n\right)+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/math]

Мы пришли к равенству

[dmath] S_n=q+qS_n-nq^{n+1}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{1-q} [/dmath]

Из этого равенства имеем:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}kq^k=\frac{q\left(1-nq^n\right)}{1-q}+\frac{q^2\left(1-q^{n-1}\right)}{(1-q)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:1} \end{equation} [/dmath]

К слову сказать, хоть и выводили мы эту формулу при условии [math]n\ge{2}[/math], однако же она даёт верный результат и при [math]n=1[/math].

Если в выражение [math]\sum\limits_{k=1}^{n}kq^k[/math] вместо [math]q[/math] подставить [math]\frac{1}{q}[/math], то с учётом [math]\left(\frac{1}{q}\right)^k=\frac{1}{q^k}[/math], можно получить ещё одну формулу:

[dmath] \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{k}{q^k} =\frac{1-nq^{-n}}{q-1}+\frac{1-q^{1-n}}{(q-1)^2};\;q\neq{1}. \label{eq:2} \end{equation} [/dmath]

Теперь обратимся непосредственно к самой задаче.

Пункт №1

Запишем каждое слагаемое в заданной сумме в таком виде:

[dmath] \underbrace{11\ldots{1}}_{k}=1+10+100+\ldots+10^{k-1} [/dmath]

Таким образом, заданная сумма будет содержать [math]n[/math] слагаемых, равных 1; [math]n-1[/math] слагаемых, равных 10; [math]n-2[/math] слагаемых, равных [math]10^2[/math] и т.д., т.е. слагаемое [math]10^{i}[/math] будет повторено [math]n-i[/math] раз. Это значит, что заданную сумму можно записать в таком виде:

[dmath] n+(n-1)10^1+(n-2)10^2+\ldots+10^{n-1} =\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]

Честно говоря, подобные умозрительные рассуждения всегда казались мне довольно зыбкими. Однако несложно подвести под них прочный фундамент, для чего используем метод математической индукции. Гипотеза такова:

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} [/dmath]

При [math]n=1[/math] равенство истинно. Пусть оно истинно и при [math]n=k[/math], т.е.

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}=\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i} [/dmath]

Докажем истинность равенства и при [math]n=k+1[/math]:

[dmath] 1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =1+11+111+\ldots+\underbrace{11\ldots{1}}_{k}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1}=\\ =\sum\limits_{i=0}^{k-1}(k-i)10^{i}+\underbrace{11\ldots{1}}_{k+1} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i)10^{i}+\sum\limits_{i=0}^{k}10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{k}(k-i+1)10^{i} =\sum\limits_{i=0}^{(k+1)-1}((k+1)-i)10^{i} [/dmath]

Итак, при [math]n=k+1[/math] равенство выполнено. Значит, оно выполняется для любого [math]n\in{N}[/math]. Теперь вернёмся к исходной задаче. Используя формулу [math]\eqref{eq:1}[/math], будем иметь:

[dmath] \sum\limits_{i=0}^{n-1}(n-i)10^{i} =n+\sum\limits_{i=1}^{n}(n-i)10^{i} =n+n\sum\limits_{i=1}^{n}10^{i}-\sum\limits_{i=1}^{n}i10^{i} = [/dmath]

Ответ

Равенство доказано.