04 003 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
Строка 9: Строка 9:
  
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 
Пусть <math>d</math> &ndash; разность этой прогрессии.
 
  
 
=== Пункт №1 ===
 
=== Пункт №1 ===
  
Так как <math>S_{n+3}=S_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}</math>, <math>S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}</math>, <math>S_n=S_{n+1}-a_{n+1}</math>, то получим:
+
Так как <math>S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}</math> и <math>2a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+3}</math>, то получим:
  
 
<dmath>
 
<dmath>
S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_n=\\
+
3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n
 +
=3S_{n+1}+3a_{n+2}-3S_{n+1}+S_n
 +
=S_n+2a_{n+2}+a_{n+2}
 +
=S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}
 +
=S_{n+3}
 +
</dmath>
  
=S_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}-3S_{n+1}-3a_{n+2}+3S_{n+1}-S_{n+1}+a_{n+1}=\\
 
  
=-2a_{n+2}+a_{n+3}+a_{n+1}
 
=-2a_{n+2}+a_{n+2}+d+a_{n+2}-d
 
=0.
 
</dmath>
 
  
Так как <math>S_{n+3}-3S_{n+2}+3S_{n+1}-S_n=0</math>, то <math>S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n</math>.
+
=== Пункт №2 ===
  
=== Пункт №2 ===
+
Пусть <math>d</math> &ndash; разность этой прогрессии.
  
 
<dmath>
 
<dmath>

Текущая версия на 12:41, 30 июля 2020

Информация о задаче

Задача №3 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Пусть [math]S_n[/math] – сумма первых [math]n[/math] членов арифметической прогрессии. Доказать, что:

  1. [math]S_{n+3}=3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n[/math];
  2. [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].

Решение

Пункт №1

Так как [math]S_{n+2}=S_{n+1}+a_{n+2}[/math] и [math]2a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+3}[/math], то получим:

[dmath] 3S_{n+2}-3S_{n+1}+S_n =3S_{n+1}+3a_{n+2}-3S_{n+1}+S_n =S_n+2a_{n+2}+a_{n+2} =S_n+a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3} =S_{n+3} [/dmath]


Пункт №2

Пусть [math]d[/math] – разность этой прогрессии.

[dmath] S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right) =\frac{a_1+a_{3n}}{2}\cdot{3n}-3\cdot\left(\frac{a_1+a_{2n}}{2}\cdot{2n}-\frac{a_1+a_n}{2}\cdot{n}\right)=\\ =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+a_{3n}-2a_1-2a_{2n}+a_1+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_{3n}-2a_{2n}+a_n\right) =\frac{3n}{2}\cdot\left(a_1+d(3n-1)-2a_1-2d(2n-1)+a_1+d(n-1)\right) =0. [/dmath]

Так как [math]S_{3n}-3\cdot\left(S_{2n}-S_n\right)=0[/math], то [math]S_{3n}=3\left(S_{2n}-S_n\right)[/math].

В принципе, тут можно решить и по-иному: такие задачи имеют много способов решений. Выведем пару несложных формул:

[dmath] \begin{aligned} & a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(i-1)+dn=a_i+dn\\ & a_{n+i}=a_1+d(n+i-1)=a_1+d(2n+i-1)-dn=a_{2n+i}-dn \end{aligned} [/dmath]

Применяя данные формулы, получим:

[dmath] 3\left(S_{2n}-S_n\right) =3\sum_{i=1}^{n}a_{n+i} =\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}=\\ =\sum_{i=1}^{n}\left(a_i+dn\right)+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}\left(a_{2n+i}-dn\right) =\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{i=1}^{n}a_{n+i}+\sum_{i=1}^{n}a_{2n+i} =S_{3n}. [/dmath]

Ответ

Оба равенства доказаны.