0454-5
Информация о задаче
Задача №454 раздела №1 "Введение в анализ" книги Б.П. Демидовича "Сборник задач и упражнений по математическому анализу" (2005 год).
Условие задачи
Пусть [math]P(x)=a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n[/math], [math]m\in{N}[/math]. Доказать, что [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\frac{a_1}{m}[/math].
Решение
Используем результат 0444-5, т.е. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[n]{1+x}-1}{x}=\frac{1}{n}[/math]. Найдём пару вспомогательных пределов:
[dmath] \begin{aligned} &\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{P(x)}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&t=P(x);\\&t\to{0}.\end{aligned}\right|=\lim_{t\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+t}-1}{t}=\frac{1}{m};\\ &\lim_{x\to{0}}\frac{P(x)}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\left(a_1+a_2x+\ldots+a_nx^{n-1}\right)=a_1. \end{aligned} [/dmath]
Вернёмся к исходному пределу:
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{x}=\left|\frac{0}{0}\right|=\lim_{x\to{0}}\left( \frac{\sqrt[m]{1+P(x)}-1}{P(x)}\cdot\frac{P(x)}{x} \right)=\frac{1}{m}\cdot{a_1}=\frac{a_1}{m}. [/dmath]
Ответ
[math]\frac{a_1}{m}[/math]
