0349-1
Информация о задаче
Задача №349 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\arctg{3x}}-\sqrt[3]{1-\arcsin{3x}}}{\sqrt{1-\arcsin{2x}}-\sqrt{1+\arctg{2x}}}[/math].
Решение
Чтобы сократить запись, введём два обозначения:
[dmath] \begin{aligned} & k_1(x)=\sqrt[3]{(1+\arctg{3x})^2}+\sqrt[3]{1+\arctg{3x}}\cdot\sqrt[3]{1-\arcsin{3x}}+\sqrt[3]{(1-\arcsin{3x})^2};\\ & k_2(x)=\sqrt{1-\arcsin{2x}}+\sqrt{1+\arctg{2x}}. \end{aligned} [/dmath]
Отметим, что [math]\lim_{x\to{0}}k_1(x)=3[/math], [math]\lim_{x\to{0}}k_2(x)=2[/math].
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt[3]{1+\arctg{3x}}-\sqrt[3]{1-\arcsin{3x}}}{\sqrt{1-\arcsin{2x}}-\sqrt{1+\arctg{2x}}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt[3]{1+\arctg{3x}}-\sqrt[3]{1-\arcsin{3x}}\right)\cdot{k_1(x)}\cdot{k_2(x)}}{\left(\sqrt{1-\arcsin{2x}}-\sqrt{1+\arctg{2x}}\right)\cdot{k_2(x)}\cdot{k_1(x)}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(-\frac{\arctg{3x}+\arcsin{3x}}{\arcsin{2x}+\arctg{2x}}\cdot\frac{k_2(x)}{k_1(x)}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(-\frac{3}{2}\cdot\frac{\frac{\arctg{3x}}{3x}+\frac{\arcsin{3x}}{3x}}{\frac{\arcsin{2x}}{2x}+\frac{\arctg{2x}}{2x}}\cdot\frac{k_2(x)}{k_1(x)}\right) =-\frac{3}{2}\cdot{1}\cdot\frac{2}{3} =-1. [/dmath]
Ответ
[math]-1[/math]
