0347-1
Информация о задаче
Задача №347 параграфа №4 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Найти предел [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x\sin{x}}-\sqrt{\cos{2x}}}{\tg^2\frac{x}{2}}[/math].
Решение
[dmath] \lim_{x\to{0}}\frac{\sqrt{1+x\sin{x}}-\sqrt{\cos{2x}}}{\tg^2\frac{x}{2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\sqrt{1+x\sin{x}}-\sqrt{\cos{2x}}\right)\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)}{\tg^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{1+x\sin{x}-\cos{2x}}{\tg^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{1+x\sin{x}-\left(1-2\sin^2{x}\right)}{\tg^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot(x+2\sin{x})\cdot\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\cdot(x+2\sin{x})\cdot\cos^2\frac{x}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{2\cos^3\frac{x}{2}\cdot(x+2\sin{x})}{\sin\frac{x}{2}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =\lim_{x\to{0}}\frac{4\cos^3\frac{x}{2}\cdot(1+\frac{2\sin{x}}{x})}{\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot\left(\sqrt{1+x\sin{x}}+\sqrt{\cos{2x}}\right)} =6. [/dmath]
Ответ
6
