01 009 (2): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
Строка 5: Строка 5:
 
Пусть <math>A\subset{U}</math>, <math>B\subset{U}</math>. Найти множество <math>X\subset{U}</math>, удовлетворяющее уравнению <math>(X\cup{A})'\cup(X\cup{A'})=B</math>.
 
Пусть <math>A\subset{U}</math>, <math>B\subset{U}</math>. Найти множество <math>X\subset{U}</math>, удовлетворяющее уравнению <math>(X\cup{A})'\cup(X\cup{A'})=B</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
В ответе к данной задаче указано, что <math>X=B'</math>, т.е. согласно ответу, равенство <math>(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})=B</math> будет истинным. Однако этот ответ некорректен, что легко показать, рассмотрев элемент <math>x\notin{A}</math>. Такой элемент <math>x\in{B'\cup{A'}}</math>, т.е. <math>x\in(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})</math>. Таким образом, элемент <math>x</math> принадлежит множеству в правой части равенства, однако не принадлежит множеству в левой части. Таким образом, в примере имеется ошибка.
+
В ответе к данной задаче указано, что <math>X=B'</math>, т.е. согласно ответу, равенство <math>(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})=B</math> будет истинным. Однако этот ответ некорректен, что легко показать, рассмотрев элемент <math>x\notin{B}</math>. Такой элемент <math>x\in{B'\cup{A'}}</math>, т.е. <math>x\in(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})</math>. Таким образом, элемент <math>x</math> принадлежит множеству в левой части равенства, однако не принадлежит множеству в правой части. Таким образом, в примере имеется ошибка.
  
 
Попробуем найти ответ для того условия, которое нам задано, не обращая внимания на ответ в задачнике. Упростим левую часть равенства:
 
Попробуем найти ответ для того условия, которое нам задано, не обращая внимания на ответ в задачнике. Упростим левую часть равенства:

Текущая версия на 08:04, 10 мая 2020

Информация о задаче

Задача №9 параграфа №1 "Множества. Комбинаторика" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Пусть [math]A\subset{U}[/math], [math]B\subset{U}[/math]. Найти множество [math]X\subset{U}[/math], удовлетворяющее уравнению [math](X\cup{A})'\cup(X\cup{A'})=B[/math].

Решение

В ответе к данной задаче указано, что [math]X=B'[/math], т.е. согласно ответу, равенство [math](B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})=B[/math] будет истинным. Однако этот ответ некорректен, что легко показать, рассмотрев элемент [math]x\notin{B}[/math]. Такой элемент [math]x\in{B'\cup{A'}}[/math], т.е. [math]x\in(B'\cup{A})'\cup(B'\cup{A'})[/math]. Таким образом, элемент [math]x[/math] принадлежит множеству в левой части равенства, однако не принадлежит множеству в правой части. Таким образом, в примере имеется ошибка.

Попробуем найти ответ для того условия, которое нам задано, не обращая внимания на ответ в задачнике. Упростим левую часть равенства:

[dmath] \begin{equation} (X\cup{A})'\cup(X\cup{A'}) =\left(X'\cap{A'}\right)\cup{X}\cup{A'} \label{(1)} \end{equation} [/dmath]

Так как [math]X'\cap{A'}\subset{A'}[/math], то [math]\left(X'\cap{A'}\right)\cup{A'}=A'[/math], поэтому выражение [math]\eqref{(1)}[/math] после упрощения примет такой вид: [math]A'\cup{X}[/math]. Итак, заданное в условии уравнение станет таким:

[dmath] \begin{equation} A'\cup{X}=B \label{(2)} \end{equation} [/dmath]

Из данного равенства сразу следует, что [math]A'\subset{B}[/math] и [math]X\subset{B}[/math]. Далее, с помощью, например, диаграмм Эйлера, исходя из условий [math]A'\subset{B}[/math] и [math]X\subset{B}[/math] можно выдвинуть гипотезу о том, что [math]A\cap{B}\subset{X}[/math]. Строго доказать то, что из равенства [math]\eqref{(2)}[/math] имеем [math]A\cap{B}\subset{X}[/math] можно, например, методом от противного. Если предположить, что [math]A\cap{B}\not\subset{X}[/math], то существует такой элемент [math]x\in{A}[/math], [math]x\in{B}[/math], что [math]x\notin{X}[/math]. Такой элемент будет входить в правую часть равенства [math]\eqref{(2)}[/math], но не будет входить в левую его часть, т.е. равенство [math]\eqref{(2)}[/math] будет нарушено. Это значит, что предположение [math]A\cap{B}\not\subset{X}[/math] неверно, поэтому имеем [math]A\cap{B}\subset{X}[/math].

Итак, из выполнения равенства [math]\eqref{(2)}[/math] следует истинность таких условий:


[dmath] \begin{equation} A'\subset{B};\;X\subset{B};\;A\cap{B}\subset{X}. \label{(3)} \end{equation} [/dmath]


Покажем, что условия [math]\eqref{(3)}[/math] являются и достаточными, т.е. их выполнение влечёт за собой истинность равенства [math]\eqref{(2)}[/math]. Можно, в принципе, составить таблицу принадлежности и показать с её помощью, что равенство [math]\eqref{(2)}[/math] выполнено на тех, и только тех наборах [math]\left(\chi_{A}(x);\chi_{B}(x);\chi_{X}(x)\right)[/math], для которых истинны условия [math]\eqref{(3)}[/math]. Это, кстати, сразу было бы обоснованием и необходимости и достаточности. Однако пойдём более коротким стандартным путём: покажем, что если выполнены условия [math]\eqref{(3)}[/math], то [math]X\cup{A'}\subset{B}[/math] и [math]B\subset{X\cup{A'}}[/math].


Пусть [math]\alpha\in{A'\cup{X}}[/math], тогда [math]\alpha\in{A'}[/math] или [math]\alpha\in{X}[/math]. Так как [math]X\subset{B}[/math] и [math]A'\subset{B}[/math], то [math]\alpha\in{B}[/math], т.е. [math]A'\cup{X}\subset{B}[/math].


Далее, пусть [math]\alpha\in{B}[/math]. Так как [math]A'\subset{B}[/math], то [math]\alpha\in{A'}[/math] или [math]\alpha\in{B\backslash{A'}}[/math]. Так как [math]B\backslash{A'}=A\cap{B}[/math], то имеет два случая: [math]\alpha\in{A'}[/math] или [math]\alpha\in{A\cap{B}}[/math]. Так как [math]A'\subset{B}[/math], то любом из данных случаев имеем [math]x\in{B}[/math], т.е. [math]B\subset{A'\cup{X}}[/math].

Из вышеизложенного следует, что [math]A'\cup{X}=B[/math].


Итак, доказано, что условия [math]X\subset{B}[/math], [math]A\cap{B}\subset{X}[/math], [math]A'\subset{B}[/math] являются необходимыми и достаточными для выполнения равенства [math]A'\cup{X}=B[/math]. Т.е. решением исходного уравнения является любое множество [math]X[/math], удовлетворяющее данным условиям. Иных решений уравнение не имеет.

Ответ

Решением уравнения является любое множество [math]X[/math], для которого истинны условия [math]X\subset{B}[/math], [math]A\cap{B}\subset{X}[/math], [math]A'\subset{B}[/math].