0176-1
Информация о задаче
Задача №176 параграфа №1 главы №2 "Предел. Непрерывность" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).
Условие задачи
Функция целочисленного аргумента принимает значения [math]u_1=0{,}9[/math]; [math]u_2=0{,}99[/math]; [math]u_3=0{,}999[/math]; ..., [math]u_n=0{,}999\ldots{9}[/math]. Чему равен [math]\lim_{n\to\infty}u_n[/math]? Каково должно быть [math]n[/math], чтобы абсолютная величина разности между [math]u_n[/math] и её пределом была не больше [math]0{,}0001[/math]?
Решение
Запишем члены последовательности в такой форме:
[dmath] \begin{aligned} &u_1=0{,}9;\\ &u_2=0{,}9+0{,}09=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1};\\ &u_3=0{,}9+0{,}09+0{,}009=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1}+0{,}9\cdot{0{,}1}^2;\\ &u_4=0{,}9+0{,}09+0{,}009+0{,}0009=0{,}9+0{,}9\cdot{0{,}1}+0{,}9\cdot{0{,}1}^2+0{,}9\cdot{0{,}1}^3;\\ &\ldots\\ &u_n=0,9+0,09+0,009+0,0009+...+0,000\ldots{9}=0{,}9\cdot{0{,}1}^2+0{,}9\cdot{0{,}1}^3+\ldots+0{,}9\cdot{0{,}1}^{n-1}. \end{aligned} [/dmath]
Таким образом каждый [math]u_n[/math] член данной последовательности есть сумма [math]n[/math] членов геометрической прогрессии с первым членом [math]0{,}9[/math] и знаменателем [math]0{,}1[/math]. Сумму первых [math]n[/math] членов этой прогрессии найдём по стандартной формуле:
[dmath] u_n =S_n =\frac{0{,}9\cdot\left(1-0{,}1^n\right)}{1-0{,}1} =1-0{,}1^n [/dmath]
Докажем, что [math]\lim_{n\to\infty}u_n=1[/math]. Рассмотрим неравенство [math]\left|u_n-1\right|\lt\varepsilon[/math] при условии [math]\varepsilon\gt{0}[/math]:
[dmath] \left|1-0{,}1^n-1\right|\lt\varepsilon;\;0{,}1^n\lt\varepsilon;\; n\gt\log_{0{,}1}\varepsilon. [/dmath]
Если [math]0\lt\varepsilon\le{1}[/math], то [math]\log_{0{,}1}\varepsilon\ge{0}[/math], посему [math]\left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1\gt\log_{0{,}1}\varepsilon[/math]. При этом [math]\left(\left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1\right)\in{N}[/math].
Если же [math]\varepsilon\gt{1}[/math], то [math]\log_{0{,}1}\varepsilon\lt{0}[/math], поэтому неравенство [math]n\gt\log_{0{,}1}\varepsilon[/math] будет истинным при всех [math]n\in{N}[/math].
Таким образом, для любого [math]\varepsilon\gt{0}[/math] существует номер [math]n_{\varepsilon}=\left\{\begin{aligned}& \left[\log_{0{,}1}\varepsilon\right]+1;\;0\lt\varepsilon\le{1};\\& 1;\;\varepsilon\ge{1} \end{aligned}\right.[/math] такой, что при всех [math]n\ge{n_\varepsilon}[/math] выполнено неравенство [math]\left|u_n-1\right|\lt\varepsilon[/math]. Это и доказывает, что [math]\lim_{n\to\infty}u_n=1[/math].
Если [math]\left|u_n-1\right|\le{0}{,}0001[/math], то [math]0{,}1^n\le{0}{,}0001[/math], откуда [math]n\ge{4}[/math].
Ответ
[math]\lim_{n\to\infty}u_n=0[/math]. Неравенство [math]\left|u_n-1\right|\le{0{,}0001}[/math] будет выполнено при [math]n\ge{4}[/math].
