005-04-2
Информация о задаче
Задача №5 параграфа №4 "Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).
Условие задачи
Пусть [math]S_n[/math] – сумма первых [math]n[/math] членов геометрической прогрессии. Доказать, что
[dmath] S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=\left(S_{2n}-S_n\right)^2 [/dmath]
Решение
[dmath] \begin{aligned} & S_n\left(S_{3n}-S_{2n}\right)=S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{2n+i}=S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{2n+i-1}=q^{2n}S_n\cdot\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=q^{2n}S_{n}^{2}.\\ & \left(S_{2n}-S_n\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{n+i}\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{n+i-1}\right)^2=\left(q^n\sum_{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}\right)^2=q^{2n}S_{n}^{2}. \end{aligned} [/dmath]
Ответ
Равенство доказано.
