Просмотр кода страницы 004-04-2

{{h2}}{{h01-2}}{{h04-01-2}}
== Информация о задаче ==
{{info2|4|4|"Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства"}}

== Условие задачи ==
Доказать, что если последовательность <math>\left\{a_n\right\}</math> является арифметической прогрессией, то при любом <math>n\ge{3}</math> и любом <math>k\in{N}</math> справедливо равенство

<dmath>
\begin{equation}
 a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}+\ldots+(-1)^nC_{n}^{n}a_{n+1}^{k}=0
  \label{eq:1}
\end{equation}
</dmath>

== Решение ==
Сразу отмечу, что условие сформулировано неточно. Например, при <math>n=2</math>, <math>k=1</math> мы получим:

<dmath>
a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}
=a_1-C_{2}^{1}a_2+C_{2}^{2}a_{3}
=a_1-2a_2+a_3=a_1-a_2+a_3-a_2
=-d+d=0.
</dmath>

Здесь, равно как и в дальнейшем изложении, <math>d</math> &ndash; разность прогрессии <math>\left\{a_n\right\}</math>. Как видите, пара чисел <math>n=2</math>, <math>k=1</math> не удовлетворяет условиям задачи, однако же равенство <math>\eqref{eq:1}</math> для них выполнено. При этом, к примеру, числа <math>n=3</math>, <math>k=4</math> удовлетворяют условиям задачи, однако же для равенства <math>\eqref{eq:1}</math> будем иметь:

<dmath>
a_{1}^{k}-C_{n}^{1}a_{2}^{k}+C_{n}^{2}a_{3}^{k}-C_{n}^{3}a_{4}^{k}
=a_{1}^{4}-C_{3}^{1}a_{2}^{4}+C_{3}^{2}a_{3}^{4}-C_{3}^{3}a_{4}^{4}
=a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4}
</dmath>

Рассматривая, к примеру, прогрессию <math>\left\{a_n\right\}</math>, для которой <math>a_1=d=1</math>, получим:

<dmath>
a_{1}^{4}-3a_{2}^{4}+3a_{3}^{4}-a_{4}^{4}
=1^{4}-3\cdot{2}^{4}+3\cdot{3}^{4}-{4}^{4}
=-60\neq{0}
</dmath>

Как видите, равенство <math>\eqref{eq:1}</math> не выполнено. Следовательно, условие задачи является некорректным, поэтому будем решать её в изначальном предположении, что <math>n\in{N}</math>. Остальные допущения, если они будут необходимы, сделаем по ходу решения. К слову, это ещё один камешек в огород авторов задачников, не размещающих в своих книгах решений.

Для начала поговорим насчёт степени <math>k</math>. В принципе, равенство <math>\eqref{eq:1}</math> истинно и при <math>k=0</math> &ndash; при условии того, что <math>a_i\neq{0}</math>, где <math>i=\overline{1;\,n+1}</math>. Если же некоторый член прогрессии <math>a_i=0</math>, то получим выражение <math>0^0</math>, не имеющее смысла. Докажем истинность равенства <math>\eqref{eq:1}</math> при <math>k=0</math>. Используем бином Ньютона:

<dmath>
(a+b)^n=a^n+C_{n}^{1}a^{n-1}b+\ldots+C_{n}^{k}a^{n-k}b^k+\ldots+C_{n}^{n}b^n
</dmath>

Подставляя <math>a=1</math>, <math>b=-1</math>, будем иметь:

<dmath>
\begin{equation}
 \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}=0;\;n\ge{1}.
  \label{eq:2}
\end{equation}
</dmath>

Формула <math>\eqref{eq:2}</math> и есть частный случай равенства <math>\eqref{eq:1}</math> при <math>k=0</math>. В дальнейшем примем <math>k\in{N}</math>. Запишем левую часть равенства <math>\eqref{eq:1}</math> в ином виде, учитывая при этом равенство <math>\eqref{eq:2}</math>:

<dmath>
\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}a_{i+1}^{k}
=\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(a_1+id\right)^{k}
=\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}\left(u_0+u_1i^1+u^2i^2+\ldots+u_ki^k\right)=\\

=u_0\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}+u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k=\\

=u_1\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i+u_2\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2+\ldots+u_k\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^k
</dmath>

Полученное выражение состоит из слагаемых вида <math>u_p\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p</math>, где выражение <math>u_p</math> не зависит от <math>i</math>. Рассмотрим суммы <math>\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^p</math>. Если удастся доказать, что все суммы такого вида равны 0, то тем самым будет доказано равенство <math>\eqref{eq:1}</math>. Для начала упомяну простую формулу:

<dmath>
\begin{equation}
 iC_{n}^{i}=nC_{n-1}^{i-1};\;n\ge{2};\;n\ge{i}.
  \label{eq:3}
\end{equation}
</dmath>

С помощью данной формулы получим некоторые предварительные выводы.

<dmath>
\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1}
=n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1}
=-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}
=0.
</dmath>

Формула <math>\eqref{eq:2}</math>, использованная тут, верна при <math>n\ge{1}</math>. Следовательно, равенство <math>\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}=0</math> истинно при <math>n-1\ge{0}</math>, т.е. <math>n\ge{2}</math>. Впрочем, это же условие можно получить и из того, что формула <math>\eqref{eq:3}</math> верна при <math>n\ge{2}</math>. Итак, 

<dmath>
\begin{equation}
 \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i=0;\;n\ge{2}.
  \label{eq:4}
\end{equation}
</dmath>

Рассмотрим ещё парочку равенств, которые позволят сформулировать гипотезу и доказать её методом математической индукции.

<dmath>
\sum_{i=0}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n}^{i}i^2
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^inC_{n-1}^{i-1}i
=n\sum_{i=1}^{n}(-1)^iC_{n-1}^{i-1}i=\\

=-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}(i+1)
=-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}i+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^iC_{n-1}^{i}\right)
=0.
</dmath>

С учётом ограничений, которые имеются в формулах <math>\eqref{eq:2}</math>, <math>\eqref{eq:3}</math>, <math>\eqref{eq:4}</math>, получим:

<dmath>
\left\{\begin{aligned}
& n\ge{2};\\
& n-1\ge{1};\\
& n-1\ge{2}.\\
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow
{n}\ge{3}.
</dmath>

Таким образом, можем записать, что

<dmath>
\begin{equation}
 \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^2=0;\;n\ge{3}.
  \label{eq:5}
\end{equation}
</dmath>

В принципе, идея, полагаю, ясна. Аналогичным образом можно получить формулу <math>\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^3=0</math>, верную при <math>n\ge{4}</math>. Механизм доказательства указанных выше формул приводит нас к такой гипотезе:

<dmath>
\begin{equation}
 \sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p=0;\;n\ge{p+1}.
  \label{eq:6}
\end{equation}
</dmath>

Докажем эту гипотезу методом математической индукции по <math>p</math>. При <math>p=1</math> формула <math>\eqref{eq:6}</math> верна &ndash; это было доказано ранее. Пусть истинны формулы <math>\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^t=0</math>, <math>n\ge{t+1}</math> при любом <math>{1}\le{t}\lt{p}</math>.

<dmath>
\sum_{i=0}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^i C_{n}^{i}i^p
=\sum_{i=1}^{n}(-1)^i nC_{n-1}^{i-1}i^{p-1}=\\

=-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}(i+1)^{p-1}
=-n\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\left(i^{p-1}+C_{p-1}^{1}i^{p-2}+C_{p-1}^{2}i^{p-3}+\ldots+1\right)=\\

=-n\cdot\left(\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-1}+C_{p-1}^{1}\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}i^{p-2}+\ldots+\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^i C_{n-1}^{i}\right)
=0.
</dmath>

<dmath>
\left\{\begin{aligned}
& n-1\ge{2};\\
& n-1\ge{3};\\
& \ldots\\
& n-1\ge{p}.
\end{aligned}\right.
\Leftrightarrow
{n}\ge{p+1}.
</dmath>

Итак, формула <math>\eqref{eq:6}</math> доказана. Это автоматически доказывает равенство <math>\eqref{eq:1}</math> при условии <math>n\ge{k+1}</math>.

== Ответ ==
Равенство истинно при всех <math>k\in{N}</math>, <math>n\ge{k+1}</math>. Равенство также истинно и при <math>k=0</math>, <math>n\in{N}</math> при том условии, что среди членов арифметической прогрессии не будет равных нулю.

{{f2}}{{f01-2}}{{f04-01-2}}