№4184 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(14)(1)}}{{(03)(14)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|4184|3|14|"Дифференциальные уравнения"}} == Усл…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|4184|3|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
{{info(1)|4184|3|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Решить уравнение <math>xy''=y'\cdot\left(e^y-1\right)</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
Запишем это уравнение в таком виде: <math>xy''+y'=y'e^y</math>, что равносильно <math>\left(xy'\right)'=\left(e^y\right)'</math>, откуда <math>xy'=e^y-C_1</math>.
 +
 +
 +
Рассмотрим случай <math>e^y-C_1=0</math>. Если <math>C_1\gt{0}</math>, то <math>y=\ln{C_1}</math>. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции <math>y=\ln{C_1}</math> &ndash; решения уравнения <math>xy'=e^y-C_1</math>.
 +
 +
 +
Пусть теперь <math>C_1=0</math>, тогда <math>xy'=e^y</math>, <math>e^{-y}dy=\frac{dx}{x}</math>, откуда <math>-e^{-y}=\ln|x|-C_2</math>, <math>y=-\ln\left(C_2-\ln|x|\right)</math>.
 +
 +
 +
Рассмотрим случай <math>C_1\neq{0}</math>, при этом, если <math>C_1\gt{0}</math>, то <math>y\neq\ln{C_1}</math>. Разделяя переменные в уравнении <math>xy'=e^y-C_1</math>, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{dy}{e^y-C_1}=\frac{dx}{x};\quad
 +
 +
\frac{-e^{-y}dy}{C_1e^{-y}-1}=\frac{dx}{x}.\\
 +
 +
\frac{1}{C_1}\int\frac{d\left(C_1e^{-y}-1\right)}{C_1e^{-y}-1}=\int\frac{dx}{x};\quad
 +
 +
\ln\left|C_1e^{-y}-1\right|=C_1\ln|x|+C_2.
 +
</dmath>
 +
 +
Из полученного выражения имеем <math>C_1e^{-y}-1=\pm{e^{C_2}}\cdot{e^{C_1\ln|x|}}</math>. Переобозначая <math>\pm{e^{C_2}}</math> как <math>C_2</math>, где <math>C_2\in{R}\setminus\{0\}</math>, получим:
 +
 +
<dmath>
 +
y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)
 +
</dmath>
 +
 +
Решения <math>y=\ln{C_1}</math>, найденные ранее, можно получить из выражения <math>y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)</math> при <math>C_2=0</math> и <math>C_1\gt{0}</math>. Следовательно, условие <math>C_2\in{R}\setminus\{0\}</math> можно изменить на <math>C_2\in{R}</math>.
 +
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
* <math>y=-\ln\left(C-\ln|x|\right)</math>, <math>C\in{R}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №14) (1)|№]] </nowiki> -->
+
* <math>y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)</math>
 +
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №14) (1)|№]]

Текущая версия на 12:40, 21 марта 2020

Информация о задаче

Задача №4184 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Решить уравнение [math]xy''=y'\cdot\left(e^y-1\right)[/math].

Решение

Запишем это уравнение в таком виде: [math]xy''+y'=y'e^y[/math], что равносильно [math]\left(xy'\right)'=\left(e^y\right)'[/math], откуда [math]xy'=e^y-C_1[/math].


Рассмотрим случай [math]e^y-C_1=0[/math]. Если [math]C_1\gt{0}[/math], то [math]y=\ln{C_1}[/math]. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что функции [math]y=\ln{C_1}[/math] – решения уравнения [math]xy'=e^y-C_1[/math].


Пусть теперь [math]C_1=0[/math], тогда [math]xy'=e^y[/math], [math]e^{-y}dy=\frac{dx}{x}[/math], откуда [math]-e^{-y}=\ln|x|-C_2[/math], [math]y=-\ln\left(C_2-\ln|x|\right)[/math].


Рассмотрим случай [math]C_1\neq{0}[/math], при этом, если [math]C_1\gt{0}[/math], то [math]y\neq\ln{C_1}[/math]. Разделяя переменные в уравнении [math]xy'=e^y-C_1[/math], будем иметь:

[dmath] \frac{dy}{e^y-C_1}=\frac{dx}{x};\quad \frac{-e^{-y}dy}{C_1e^{-y}-1}=\frac{dx}{x}.\\ \frac{1}{C_1}\int\frac{d\left(C_1e^{-y}-1\right)}{C_1e^{-y}-1}=\int\frac{dx}{x};\quad \ln\left|C_1e^{-y}-1\right|=C_1\ln|x|+C_2. [/dmath]

Из полученного выражения имеем [math]C_1e^{-y}-1=\pm{e^{C_2}}\cdot{e^{C_1\ln|x|}}[/math]. Переобозначая [math]\pm{e^{C_2}}[/math] как [math]C_2[/math], где [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим:

[dmath] y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right) [/dmath]

Решения [math]y=\ln{C_1}[/math], найденные ранее, можно получить из выражения [math]y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)[/math] при [math]C_2=0[/math] и [math]C_1\gt{0}[/math]. Следовательно, условие [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить на [math]C_2\in{R}[/math].


Ответ

  • [math]y=-\ln\left(C-\ln|x|\right)[/math], [math]C\in{R}[/math]
  • [math]y=-\ln\left(\frac{C_2}{C_1}e^{C_1\ln|x|}+\frac{1}{C_1}\right)[/math]