№4172 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(14)(1)}}{{(03)(14)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|4172|3|14|"Дифференциальные уравнения"}} == Усл…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|4172|3|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
{{info(1)|4172|3|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти общее решение уравнения <math>yy''=\left(y'\right)^2</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Замена: <math>y'=p(y)</math>, <math>y''=p'p</math>:
 +
 +
<dmath>
 +
yp'p=p^2;\quad
 +
 +
p\cdot\left(yp'-p\right)=0;\;
 +
 +
\left[\begin{aligned}
 +
&amp; p=0;\\
 +
&amp; yp'-p=0.
 +
\end{aligned}\right.
 +
</dmath>
 +
 +
Функция <math>p=0</math> является решением уравнения <math>yp'-p=0</math>, поэтому отдельно разбирать случай <math>p=0</math> нет необходимости. Рассмотрим уравнение <math>yp'-p=0</math>. При <math>p\neq{0}</math> будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
y\frac{dp}{dy}=p;\;
 +
 +
\frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}.\\
 +
 +
\int\frac{dp}{p}=\int\frac{dy}{y};\;
 +
\ln|p|=\ln|y|+\ln{C_1};\;
 +
|p|=C_1|y|;\;
 +
p=\pm{C_1}y.
 +
</dmath>
 +
 +
Здесь <math>C_1\gt{0}</math>. Переобозначая <math>\pm{C_1}</math> как <math>C_1</math>, получим: <math>p=C_1y</math>, где <math>C_1\in{R}\setminus\{0\}</math>. Решение <math>p=0</math> можно получить из выражения <math>p=C_1y</math> при <math>C_1=0</math>, поэтому условие <math>C_1\in{R}\setminus\{0\}</math> можно изменить: <math>C_1\in{R}</math>.
 +
 +
Так как <math>p=y'</math>, то <math>y'=C_1y</math>. Функция <math>y=0</math> &ndash; решение данного уравнения. При <math>y\neq{0}</math> получим:
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{dy}{dx}=C_1y;\;
 +
\frac{dy}{y}=C_1dx;\;
 +
\int\frac{dy}{y}=C_1\int{dx}.\\
 +
 +
\ln|y|=C_1x+C_2;\;
 +
y=\pm{e}^{C_2}\cdot{e}^{C_1x}.
 +
</dmath>
 +
 +
Переобозначая <math>\pm{e}^{C_2}</math> как <math>C_2</math>, получим: <math>y=C_2{e}^{C_1x}</math>, где <math>C_2\in{R}\setminus\{0\}</math>. Решение <math>y=0</math> можно получить из выражения <math>y=C_2{e}^{C_1x}</math> при <math>C_2=0</math>, поэтому условие <math>C_2\in{R}\setminus\{0\}</math> можно изменить: <math>C_2\in{R}</math>.
 +
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>y=C_2{e}^{C_1x}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №14) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №14) (1)|№]]

Текущая версия на 11:40, 22 марта 2020

Информация о задаче

Задача №4172 параграфа №3 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти общее решение уравнения [math]yy''=\left(y'\right)^2[/math].

Решение

Замена: [math]y'=p(y)[/math], [math]y''=p'p[/math]:

[dmath] yp'p=p^2;\quad p\cdot\left(yp'-p\right)=0;\; \left[\begin{aligned} & p=0;\\ & yp'-p=0. \end{aligned}\right. [/dmath]

Функция [math]p=0[/math] является решением уравнения [math]yp'-p=0[/math], поэтому отдельно разбирать случай [math]p=0[/math] нет необходимости. Рассмотрим уравнение [math]yp'-p=0[/math]. При [math]p\neq{0}[/math] будем иметь:

[dmath] y\frac{dp}{dy}=p;\; \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y}.\\ \int\frac{dp}{p}=\int\frac{dy}{y};\; \ln|p|=\ln|y|+\ln{C_1};\; |p|=C_1|y|;\; p=\pm{C_1}y. [/dmath]

Здесь [math]C_1\gt{0}[/math]. Переобозначая [math]\pm{C_1}[/math] как [math]C_1[/math], получим: [math]p=C_1y[/math], где [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math]. Решение [math]p=0[/math] можно получить из выражения [math]p=C_1y[/math] при [math]C_1=0[/math], поэтому условие [math]C_1\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить: [math]C_1\in{R}[/math].

Так как [math]p=y'[/math], то [math]y'=C_1y[/math]. Функция [math]y=0[/math] – решение данного уравнения. При [math]y\neq{0}[/math] получим:

[dmath] \frac{dy}{dx}=C_1y;\; \frac{dy}{y}=C_1dx;\; \int\frac{dy}{y}=C_1\int{dx}.\\ \ln|y|=C_1x+C_2;\; y=\pm{e}^{C_2}\cdot{e}^{C_1x}. [/dmath]

Переобозначая [math]\pm{e}^{C_2}[/math] как [math]C_2[/math], получим: [math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math], где [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math]. Решение [math]y=0[/math] можно получить из выражения [math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math] при [math]C_2=0[/math], поэтому условие [math]C_2\in{R}\setminus\{0\}[/math] можно изменить: [math]C_2\in{R}[/math].


Ответ

[math]y=C_2{e}^{C_1x}[/math]