№3913 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(14)(1)}}{{(01)(14)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|3913|1|14|"Дифференциальные уравнения"}} == Усл…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|3913|1|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
{{info(1)|3913|1|14|"Дифференциальные уравнения"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти частное решение дифференциального уравнения <math>y'\sin{x}=y\ln{y}</math>, удовлетворяющее начальному условию <math>\left.y\right|_{x=\pi/2}=e</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Функция <math>y=1</math> является решением, но не удовлетворяет начальному условию. При <math>y\neq{1}</math> разделяем переменные:
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}};\quad
 +
 +
\int\frac{d(\ln{y})}{\ln{y}}=\int\frac{dx}{\sin{x}}.\\
 +
 +
\ln|\ln{y}|=\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\ln{C_1};\quad
 +
 +
\ln|\ln{y}|=\ln\left(C_1\left|\tg\frac{x}{2}\right|\right);\quad
 +
 +
\ln{y}=\pm{C_1}\tg\frac{x}{2};\quad
 +
 +
y=e^{\pm{C_1}\cdot\tg\frac{x}{2}}.
 +
</dmath>
 +
 +
Здесь <math>C_1\gt{0}</math>. Переобозначая <math>\pm{C_1}</math> как <math>C</math>, где <math>C\in{R}\setminus\{0\}</math>, получим: <math>y=e^{C\tg\frac{x}{2}}</math>. Исходя из начального условия, имеем: <math>e=e^C</math>, откуда <math>C=1</math>. Следовательно, <math>y=e^{\tg\frac{x}{2}}</math>.
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>y=e^{\tg\frac{x}{2}}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №14) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №14) (1)|№]]

Текущая версия на 00:22, 14 марта 2020

Информация о задаче

Задача №3913 параграфа №1 главы №14 "Дифференциальные уравнения" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти частное решение дифференциального уравнения [math]y'\sin{x}=y\ln{y}[/math], удовлетворяющее начальному условию [math]\left.y\right|_{x=\pi/2}=e[/math].

Решение

Функция [math]y=1[/math] является решением, но не удовлетворяет начальному условию. При [math]y\neq{1}[/math] разделяем переменные:

[dmath] \frac{dy}{y\ln{y}}=\frac{dx}{\sin{x}};\quad \int\frac{d(\ln{y})}{\ln{y}}=\int\frac{dx}{\sin{x}}.\\ \ln|\ln{y}|=\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+\ln{C_1};\quad \ln|\ln{y}|=\ln\left(C_1\left|\tg\frac{x}{2}\right|\right);\quad \ln{y}=\pm{C_1}\tg\frac{x}{2};\quad y=e^{\pm{C_1}\cdot\tg\frac{x}{2}}. [/dmath]

Здесь [math]C_1\gt{0}[/math]. Переобозначая [math]\pm{C_1}[/math] как [math]C[/math], где [math]C\in{R}\setminus\{0\}[/math], получим: [math]y=e^{C\tg\frac{x}{2}}[/math]. Исходя из начального условия, имеем: [math]e=e^C[/math], откуда [math]C=1[/math]. Следовательно, [math]y=e^{\tg\frac{x}{2}}[/math].

Ответ

[math]y=e^{\tg\frac{x}{2}}[/math]