№2732 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
Строка 15: Строка 15:
 
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}=\\
 
=\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}=\\
  
=\frac{1}{2}\cdot\left(1+\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=3}^{n}\frac{1}{k}\right)-\left(\frac{1}{2}+\sum\limits_{k=3}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=3}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)=\\
+
=\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}\right)=\\
 
=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right).
 
=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right).
 
</math>
 
</math>

Версия 22:01, 1 августа 2020

Информация о задаче

Задача №2732 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{2}\cdot{3}}+\frac{1}{2\cdot{3}\cdot{4}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{n+2}[/math]. Частичная сумма ряда:

[math] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+2}\right) =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+2}=\\ =\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\sum\limits_{k=2}^{n+1}\frac{1}{k}+\frac{1}{2}\cdot\sum\limits_{k=3}^{n+2}\frac{1}{k}=\\ =\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+2}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}\right)=\\ =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right). [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)\right) =\frac{1}{4}. [/math]

Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{1}{4}[/math].

Ответ

[math]S_n=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}\right)[/math], [math]S=\frac{1}{4}[/math].