№2731 (1): различия между версиями

Реклама
Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(09)(1)}}{{(01)(09)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2731|1|9|"Ряды"}} == Условие задачи == == Решение =…»)
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2731|1|9|"Ряды"}}
 
{{info(1)|2731|1|9|"Ряды"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти сумму <math>n</math> первых членов ряда <math>\frac{1}{1\cdot{7}}+\frac{1}{3\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}+\ldots</math>. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Общий член ряда: <math>u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)</math>. Частичная сумма ряда:
 +
 +
<math>
 +
S_n
 +
=\sum\limits_{k=1}^{n}u_k
 +
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+5}\right)=\\
 +
 +
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5}
 +
=\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{2k-1}=\\
 +
 +
=\frac{1}{6}\cdot\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{2k-1}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)=\\
 +
 +
=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
\lim_{n\to\infty}S_n
 +
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\right)
 +
=\frac{23}{90}.
 +
</math>
 +
 +
Ряд сходится, его сумма равна <math>\frac{23}{90}</math>.
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>S_n=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)</math>, <math>S=\frac{23}{90}</math>.
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №09) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №09) (1)|№]]

Версия 20:05, 7 декабря 2018

Информация о задаче

Задача №2731 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{7}}+\frac{1}{3\cdot{9}}+\ldots+\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{(2n-1)\cdot(2n+5)}=\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+5}\right)[/math]. Частичная сумма ряда:

[math] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+5}\right)=\\ =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k+5} =\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{6}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{2k-1}=\\ =\frac{1}{6}\cdot\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{2k-1}\right)-\frac{1}{6}\cdot\left(\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)=\\ =\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right) [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)\right) =\frac{23}{90}. [/math]

Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{23}{90}[/math].

Ответ

[math]S_n=\frac{23}{90}-\frac{1}{6}\cdot\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}+\frac{1}{2n+5}\right)[/math], [math]S=\frac{23}{90}[/math].