№2730 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
Строка 14: Строка 14:
 
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}=\\
 
=\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}=\\
  
=\frac{1}{3}\cdot\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{k}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=4}^{n}\frac{1}{k}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)=\\
+
=\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\\
  
 
=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)
 
=\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right)

Текущая версия на 21:54, 1 августа 2020

Информация о задаче

Задача №2730 параграфа №1 главы №9 "Ряды" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти сумму [math]n[/math] первых членов ряда [math]\frac{1}{1\cdot{4}}+\frac{1}{2\cdot{5}}+\ldots+\frac{1}{n\cdot(n+3)}+\ldots[/math]. Доказать сходимость ряда, пользуясь непосредственно определением сходимости. Найти сумму ряда.

Решение

Общий член ряда: [math]u_n=\frac{1}{n\cdot(n+3)}=\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+3}\right)[/math]. Частичная сумма ряда:

[math] S_n =\sum\limits_{k=1}^{n}u_k =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+3}\right) =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k+3} =\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\frac{1}{3}\cdot\sum\limits_{k=4}^{n+3}\frac{1}{k}=\\ =\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)-\frac{1}{3}\cdot\left(\sum\limits_{k=1}^{n+3}\frac{1}{k}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=\\ =\frac{11}{18}-\frac{1}{3}\cdot\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right) =\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}. [/math]

[math] \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\left(\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}\right) =\frac{11}{18}. [/math]

Ряд сходится, его сумма равна [math]\frac{11}{18}[/math].

Ответ

[math]S_n=\frac{11}{18}-\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{3n+6}-\frac{1}{3n+9}[/math], [math]S=\frac{11}{18}[/math].