№2523 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2523|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2523|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2523|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти длину дуги линии <math>y=\ln\frac{e^x+1}{e^x-1}</math> (от <math>x_1=a</math> до <math>x_2=b</math>).
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Отмечу, что данная функция определена при условии <math>x\gt{0}</math>, т.е. неравенство <math>e^{2x}-1\gt{0}</math> выполнено для всех значений аргумента из области определения. Это значит, что <math>\sqrt{\left(e^{2x}-1\right)^2}=e^{2x}-1</math>.
 +
 +
<math>
 +
L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx
 +
=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}}dx
 +
=\int\limits_{a}^{b}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx
 +
=\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-1\right)dx=\\
 +
 +
=\left.\left(\ln\left(e^{2x}-1\right)-x\right)\right|_{a}^{b}
 +
=\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-b+a
 +
=\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-\ln{e^b}+\ln{e^a}
 +
=\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}.
 +
</math>
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 15:40, 13 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2523 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти длину дуги линии [math]y=\ln\frac{e^x+1}{e^x-1}[/math] (от [math]x_1=a[/math] до [math]x_2=b[/math]).

Решение

Отмечу, что данная функция определена при условии [math]x\gt{0}[/math], т.е. неравенство [math]e^{2x}-1\gt{0}[/math] выполнено для всех значений аргумента из области определения. Это значит, что [math]\sqrt{\left(e^{2x}-1\right)^2}=e^{2x}-1[/math].

[math] L=\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\left(y'\right)^2}dx =\int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+\frac{4e^{2x}}{\left(e^{2x}-1\right)^2}}dx =\int\limits_{a}^{b}\frac{e^{2x}+1}{e^{2x}-1}dx =\int\limits_{a}^{b}\left(\frac{2e^{2x}}{e^{2x}-1}-1\right)dx=\\ =\left.\left(\ln\left(e^{2x}-1\right)-x\right)\right|_{a}^{b} =\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-b+a =\ln\frac{e^{2b}-1}{e^{2a}-1}-\ln{e^b}+\ln{e^a} =\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}. [/math]

Ответ

[math]\ln\frac{e^b-e^{-b}}{e^a-e^{-a}}[/math]