№2522 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2522|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2522|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2522|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти длину дуги линии <math>y=\ln\left(1-x^2\right)</math> от <math>x_1=0</math> до <math>x_2=\frac{1}{2}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
<math>
 +
L=\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+(y')^2}dx
 +
=\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+\frac{4x^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx
 +
=\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx=\\
 +
 +
=\int\limits_{0}^{1/2}\frac{1+x^2}{1-x^2}dx
 +
=\int\limits_{0}^{1/2}\left(-1-\frac{2}{x^2-1}\right)
 +
=\left.\left(-x-\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right)\right|_{0}^{1/2}
 +
=\ln{3}-\frac{1}{2}.
 +
</math>
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\ln{3}-\frac{1}{2}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 23:33, 7 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2522 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти длину дуги линии [math]y=\ln\left(1-x^2\right)[/math] от [math]x_1=0[/math] до [math]x_2=\frac{1}{2}[/math].

Решение

[math] L=\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+(y')^2}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{1+\frac{4x^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)^2}{\left(1-x^2\right)^2}}dx=\\ =\int\limits_{0}^{1/2}\frac{1+x^2}{1-x^2}dx =\int\limits_{0}^{1/2}\left(-1-\frac{2}{x^2-1}\right) =\left.\left(-x-\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|\right)\right|_{0}^{1/2} =\ln{3}-\frac{1}{2}. [/math]

Ответ

[math]\ln{3}-\frac{1}{2}[/math]