№2521 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2521|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2521|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2521|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти длину дуги линии <math>y=\ln{x}</math> от <math>x_1=\sqrt{3}</math> до <math>x_2=\sqrt{8}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<math>
 +
L=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+(y')^2}dx
 +
=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx
 +
=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; t=\sqrt{x^2+1};\;x=\sqrt{t^2-1};\;dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^2-1}}.\\
 +
&amp; \begin{array} {c|c|c} x &amp; \sqrt{3} &amp; \sqrt{8} \\ \hline t  &amp; 2 &amp; 3 \end{array}
 +
\end{aligned}\right]=\\
 +
 +
=\int\limits_{2}^{3}\frac{t^2dt}{t^2-1}
 +
=\int\limits_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt
 +
=\left.\left(t+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|\right)\right|_{2}^{3}
 +
=1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 23:27, 7 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2521 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти длину дуги линии [math]y=\ln{x}[/math] от [math]x_1=\sqrt{3}[/math] до [math]x_2=\sqrt{8}[/math].

Решение

[math] L=\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+(y')^2}dx =\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx =\int\limits_{\sqrt{3}}^{\sqrt{8}}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx =\left[\begin{aligned} & t=\sqrt{x^2+1};\;x=\sqrt{t^2-1};\;dx=\frac{tdt}{\sqrt{t^2-1}}.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & \sqrt{3} & \sqrt{8} \\ \hline t & 2 & 3 \end{array} \end{aligned}\right]=\\ =\int\limits_{2}^{3}\frac{t^2dt}{t^2-1} =\int\limits_{2}^{3}\left(1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt =\left.\left(t+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{t-1}{t+1}\right|\right)\right|_{2}^{3} =1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}. [/math]

Ответ

[math]1+\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}[/math]