№2480 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2480|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2480|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2480|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией <math>y=e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2</math>, осью Ox и двумя прямыми, параллельными оси Oy, проведёнными через точки экстремума функции <math>y</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Область определения данной функции: <math>D(y)=R</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
y'=e^{-x}\cdot(-x^2-x+2)=-e^{-x}\cdot(x-1)(x+2)
 +
</dmath>
 +
 +
Функция убывает при <math>x\in(-\infty;-2)</math> и <math>x\in(1;+\infty)</math>. Функция возрастает при <math>x\in(-2;1)</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
\begin{aligned}
 +
&amp; x_{\min}=-2;\;y_{\min}=y(-2)=0.\\
 +
&amp; x_{\max}=1;\;y_{\max}=y(1)=5e^{-1}+e^2.
 +
\end{aligned}
 +
</dmath>
 +
 +
Отметим, что так как <math>y(-2)=0</math>, то график пересекает ось абсцисс или касается её при <math>x=-2</math>. Значение <math>y=0</math> является наименьшим при <math>x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)</math>. Это значит, что при <math>x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)</math> график функции лежит над осью абсцисс. Впрочем, если <math>x\ge{1}</math>, то <math>y\gt{0}</math>, т.е. график функции лежит над осью Ox на всей области определения, кроме точки <math>x=-2</math>, в которой график касается оси абсцисс.
 +
 +
[[Файл:2480 (1).png|центр]]
 +
 +
<dmath>
 +
S=\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2\right)dx
 +
=\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}\left(x^2+3x\right)dx+\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}+e^2\right)dx
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; u=x^2+3x;\;du=(2x+3)dx;\\
 +
&amp; dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
 +
\end{aligned}\right]=\\
 +
 +
=\left.-e^{-x}\left(x^2+3x\right)\right|_{-2}^{1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx+\left.\left(-e^{-x}+xe^2\right)\right|_{-2}^{1}
 +
=2e^2-5e^{-1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; u=2x+3;\;du=2dx;\\
 +
&amp; dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
 +
\end{aligned}\right]=\\
 +
 +
=2e^2-5e^{-1}-\left.e^{-x}\left(2x+3\right)\right|_{-2}^{1}+2\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}dx
 +
=3e^2-\frac{12}{e}.
 +
</dmath>
 +
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>3e^2-\frac{12}{e}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 09:51, 9 мая 2020

Информация о задаче

Задача №2480 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией [math]y=e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2[/math], осью Ox и двумя прямыми, параллельными оси Oy, проведёнными через точки экстремума функции [math]y[/math].

Решение

Область определения данной функции: [math]D(y)=R[/math].

[dmath] y'=e^{-x}\cdot(-x^2-x+2)=-e^{-x}\cdot(x-1)(x+2) [/dmath]

Функция убывает при [math]x\in(-\infty;-2)[/math] и [math]x\in(1;+\infty)[/math]. Функция возрастает при [math]x\in(-2;1)[/math].

[dmath] \begin{aligned} & x_{\min}=-2;\;y_{\min}=y(-2)=0.\\ & x_{\max}=1;\;y_{\max}=y(1)=5e^{-1}+e^2. \end{aligned} [/dmath]

Отметим, что так как [math]y(-2)=0[/math], то график пересекает ось абсцисс или касается её при [math]x=-2[/math]. Значение [math]y=0[/math] является наименьшим при [math]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)[/math]. Это значит, что при [math]x\in(-\infty;-2)\cup(-2;1)[/math] график функции лежит над осью абсцисс. Впрочем, если [math]x\ge{1}[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график функции лежит над осью Ox на всей области определения, кроме точки [math]x=-2[/math], в которой график касается оси абсцисс.

2480 (1).png

[dmath] S=\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}\left(x^2+3x+1\right)+e^2\right)dx =\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}\left(x^2+3x\right)dx+\int\limits_{-2}^{1}\left(e^{-x}+e^2\right)dx =\left[\begin{aligned} & u=x^2+3x;\;du=(2x+3)dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right]=\\ =\left.-e^{-x}\left(x^2+3x\right)\right|_{-2}^{1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx+\left.\left(-e^{-x}+xe^2\right)\right|_{-2}^{1} =2e^2-5e^{-1}+\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}(2x+3)dx =\left[\begin{aligned} & u=2x+3;\;du=2dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right]=\\ =2e^2-5e^{-1}-\left.e^{-x}\left(2x+3\right)\right|_{-2}^{1}+2\int\limits_{-2}^{1}e^{-x}dx =3e^2-\frac{12}{e}. [/dmath]


Ответ

[math]3e^2-\frac{12}{e}[/math]