№2479 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2479|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2479|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2479|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией <math>y=\left(x^2+2x\right)e^{-x}</math> и осью абсцисс.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
График данной функции пересекает ось абсцисс в точках <math>(-2;0)</math> и <math>(0;0)</math>. Если <math>x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)</math>, то <math>y\gt{0}</math>, т.е. график лежит над осью абсцисс. Если же <math>x\in(-2;0)</math>, то <math>y\lt{0}</math>, т.е. график лежит под осью абсцисс.
 +
 +
[[Файл:2479 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S=-\int\limits_{-2}^{0}\left(x^2+2x\right)e^{-x}dx
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; u=x^2+2x;\;du=(2x+2)dx;\\
 +
&amp; dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
 +
\end{aligned}\right]
 +
=-\int\limits_{-2}^{0}(2x+2)e^{-x}dx=\\
 +
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; u=2x+2;\;du=2dx;\\
 +
&amp; dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}.
 +
\end{aligned}\right]
 +
 +
=2e^2+2-2\int\limits_{-2}^{0}e^{-x}dx
 +
=4.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
4
<!-- <nowiki>  [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 14:21, 7 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2479 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией [math]y=\left(x^2+2x\right)e^{-x}[/math] и осью абсцисс.

Решение

График данной функции пересекает ось абсцисс в точках [math](-2;0)[/math] и [math](0;0)[/math]. Если [math]x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty)[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график лежит над осью абсцисс. Если же [math]x\in(-2;0)[/math], то [math]y\lt{0}[/math], т.е. график лежит под осью абсцисс.

2479 (1).png

[math] S=-\int\limits_{-2}^{0}\left(x^2+2x\right)e^{-x}dx =\left[\begin{aligned} & u=x^2+2x;\;du=(2x+2)dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right] =-\int\limits_{-2}^{0}(2x+2)e^{-x}dx=\\ =\left[\begin{aligned} & u=2x+2;\;du=2dx;\\ & dv=e^{-x}dx;\;v=-e^{-x}. \end{aligned}\right] =2e^2+2-2\int\limits_{-2}^{0}e^{-x}dx =4. [/math]

Ответ

4