№2475 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2475|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2475|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2475|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией <math>y^2=x^2-x^4</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Так как <math>y^2\ge{0}</math>, то и <math>x^2-x^4\ge{0}</math>, откуда имеем <math>-1\le{x}\le{1}</math>. Кривая пересекает ось абсцисс в точках <math>(-1;0)</math>, <math>(0;0)</math> и <math>(1;0)</math>.
 +
 +
Если точка <math>(x_0;y_0)</math> принадлежит кривой, то ввиду <math>y_{0}^{2}=(-y_0)^2</math> и <math>x_{0}^{2}=(-x_0)^2</math> получаем, что точки <math>(-x_0;y_0)</math> и <math>(x_0;-y_0)</math> также принадлежат кривой. Следовательно, данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. Это означает, что искомая площадь <math>S=4S_1</math>, где <math>S_1</math> &ndash; часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При <math>y\ge{0}</math>, т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: <math>y=\sqrt{x^2-x^4}</math>.
 +
 +
Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:
 +
 +
[[Файл:2475 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S=4\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x^2-x^4}dx
 +
=4\int\limits_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx
 +
=-2\int\limits_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^{1/2}d\left(1-x^2\right)
 +
=-\frac{4}{3}\cdot\left.\left(1-x^2\right)^{3/2}\right|_{0}^{1}
 +
=\frac{4}{3}.
 +
</math>
 +
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\frac{4}{3}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 22:37, 1 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2475 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией [math]y^2=x^2-x^4[/math].

Решение

Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то и [math]x^2-x^4\ge{0}[/math], откуда имеем [math]-1\le{x}\le{1}[/math]. Кривая пересекает ось абсцисс в точках [math](-1;0)[/math], [math](0;0)[/math] и [math](1;0)[/math].

Если точка [math](x_0;y_0)[/math] принадлежит кривой, то ввиду [math]y_{0}^{2}=(-y_0)^2[/math] и [math]x_{0}^{2}=(-x_0)^2[/math] получаем, что точки [math](-x_0;y_0)[/math] и [math](x_0;-y_0)[/math] также принадлежат кривой. Следовательно, данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. Это означает, что искомая площадь [math]S=4S_1[/math], где [math]S_1[/math] – часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При [math]y\ge{0}[/math], т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: [math]y=\sqrt{x^2-x^4}[/math].

Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:

2475 (1).png

[math] S=4\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x^2-x^4}dx =4\int\limits_{0}^{1}x\sqrt{1-x^2}dx =-2\int\limits_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^{1/2}d\left(1-x^2\right) =-\frac{4}{3}\cdot\left.\left(1-x^2\right)^{3/2}\right|_{0}^{1} =\frac{4}{3}. [/math]


Ответ

[math]\frac{4}{3}[/math]