№2474 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
 
Строка 7: Строка 7:
 
Так как <math>y^2\ge{0}</math>, то и <math>\left(1-x^2\right)^3\ge{0}</math>, откуда имеем <math>-1\le{x}\le{1}</math>. Исходя из условия <math>-1\le{x}\le{1}</math> делаем вывод, что <math>0\le{1-x^2}\le{1}</math>, т.е. <math>y^2\le{1}</math>, откуда следует <math>-1\le{y}\le{1}</math>. Отсюда заключаем, что данная линия расположена в квадрате <math>-1\le{x}\le{1}</math>, <math>-1\le{y}\le{1}</math>. Кривая пересекает ось абсцисс в точках <math>(-1;0)</math> и <math>(1;0)</math>, а ось ординат в точках <math>(0;-1)</math> и <math>(1;0)</math>.
 
Так как <math>y^2\ge{0}</math>, то и <math>\left(1-x^2\right)^3\ge{0}</math>, откуда имеем <math>-1\le{x}\le{1}</math>. Исходя из условия <math>-1\le{x}\le{1}</math> делаем вывод, что <math>0\le{1-x^2}\le{1}</math>, т.е. <math>y^2\le{1}</math>, откуда следует <math>-1\le{y}\le{1}</math>. Отсюда заключаем, что данная линия расположена в квадрате <math>-1\le{x}\le{1}</math>, <math>-1\le{y}\le{1}</math>. Кривая пересекает ось абсцисс в точках <math>(-1;0)</math> и <math>(1;0)</math>, а ось ординат в точках <math>(0;-1)</math> и <math>(1;0)</math>.
  
Далее, если точка <math>(x_0;y_0)</math> принадлежит кривой, то ввиду <math>y_{0}^{2}=(-y_0)^2</math> и <math>x_{0}^{2}=(-x_0)^2</math> получаем, что точки <math>(-x_0;y_0)</math> и <math>(x_0;-y_0)</math> также принадлежат кривой. Это значит, что данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. В свою очередь, это означает, что искомая площадь <math>S=4S_1</math>, где <math>S_1</math> &ndash; часть площади, ограниченной данной линией в первой четверти. При <math>y\ge{0}</math>, т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: <math>y=\left(1-x^2\right)^{3/2}</math>.
+
Далее, если точка <math>(x_0;y_0)</math> принадлежит кривой, то ввиду <math>y_{0}^{2}=(-y_0)^2</math> и <math>x_{0}^{2}=(-x_0)^2</math> получаем, что точки <math>(-x_0;y_0)</math> и <math>(x_0;-y_0)</math> также принадлежат кривой. Это значит, что данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. В свою очередь, это означает, что искомая площадь <math>S=4S_1</math>, где <math>S_1</math> &ndash; часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При <math>y\ge{0}</math>, т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: <math>y=\left(1-x^2\right)^{3/2}</math>.
  
 
Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:
 
Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:

Текущая версия на 22:26, 1 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2474 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой линией [math]y^2=\left(1-x^2\right)^3[/math].

Решение

Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то и [math]\left(1-x^2\right)^3\ge{0}[/math], откуда имеем [math]-1\le{x}\le{1}[/math]. Исходя из условия [math]-1\le{x}\le{1}[/math] делаем вывод, что [math]0\le{1-x^2}\le{1}[/math], т.е. [math]y^2\le{1}[/math], откуда следует [math]-1\le{y}\le{1}[/math]. Отсюда заключаем, что данная линия расположена в квадрате [math]-1\le{x}\le{1}[/math], [math]-1\le{y}\le{1}[/math]. Кривая пересекает ось абсцисс в точках [math](-1;0)[/math] и [math](1;0)[/math], а ось ординат в точках [math](0;-1)[/math] и [math](1;0)[/math].

Далее, если точка [math](x_0;y_0)[/math] принадлежит кривой, то ввиду [math]y_{0}^{2}=(-y_0)^2[/math] и [math]x_{0}^{2}=(-x_0)^2[/math] получаем, что точки [math](-x_0;y_0)[/math] и [math](x_0;-y_0)[/math] также принадлежат кривой. Это значит, что данная кривая симметрична относительно координатных осей Ox и Oy. В свою очередь, это означает, что искомая площадь [math]S=4S_1[/math], где [math]S_1[/math] – часть площади, ограниченная данной линией в первой четверти. При [math]y\ge{0}[/math], т.е. в первой и второй четвертях, уравнение кривой будет таким: [math]y=\left(1-x^2\right)^{3/2}[/math].

Для наглядности я вставлю чертёж всей кривой, отдельным цветом выделив часть кривой в первой четверти:

2474 (1).png

[math] S=4\int\limits_{0}^{1}\left(1-x^2\right)^{3/2}dx =\left[\begin{aligned} & x=\sin{t};\;dx=\cos{t}dt.\\ & \begin{array} {c|c|c} x & 0 & 1 \\ \hline t & 0 & \pi/2 \end{array} \end{aligned}\right] =4\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^4{t}dt =\int\limits_{0}^{\pi/2}(1+\cos{2t})^2dt =\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\frac{3}{2}+2\cos{2t}+\frac{1}{2}\cos{4t}\right)dt =\left.\left(\frac{3t}{2}+\sin{2t}+\frac{\sin{4t}}{8}\right)\right|_{0}^{\pi/2} =\frac{3\pi}{4}. [/math]


Ответ

[math]\frac{3\pi}{4}[/math]