№2473 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2473|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2473|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2473|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти площадь петли линии <math>y^2=x(x-1)^2</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
Так как <math>y^2\ge{0}</math>, то <math>x(x-1)^2\ge{0}</math>, что равносильно <math>x\ge{0}</math>.  При условии <math>x\ge{0}</math> получим две ветви заданного графика:
 +
 +
<dmath>
 +
|y|=\sqrt{x}\cdot|x-1|;\;
 +
 +
\left[\begin{aligned}
 +
&amp;y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|;\\
 +
&amp;y=\sqrt{x}\cdot|x-1|.
 +
\end{aligned}\right.
 +
</dmath>
 +
 +
Эти ветви симметричны относительно оси абсцисс, при этом каждая ветвь имеет с данной осью две общие точки: <math>(0;0)</math> и <math>(1;1)</math>. Если <math>x\in(0;1)\cup(1;+\infty)</math>, то ветвь <math>y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|</math> расположена под осью Ox, а ветвь <math>y=\sqrt{x}\cdot|x-1|</math> &ndash; над данной осью.
 +
 +
[[Файл:2473 (1).png|центр]]
 +
 +
Рассматриваемые ветви образуют петлю при <math>x\in[0;1]</math>. Так как ветви симметричны относительно оси абсцисс, то искомая площадь <math>S=2S_1</math>, где <math>S_1</math> &ndash; площадь между ветвью <math>y=\sqrt{x}\cdot|x-1|</math> и осью Ox.
 +
 +
<math>
 +
S=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot|x-1|\right)dx
 +
=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot(1-x)\right)dx
 +
=2\int\limits_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx
 +
=4\cdot\left.\left(\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{5/2}}{5}\right)\right|_{0}^{1}
 +
=\frac{8}{15}.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\frac{8}{15}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 00:48, 1 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2473 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти площадь петли линии [math]y^2=x(x-1)^2[/math].

Решение

Так как [math]y^2\ge{0}[/math], то [math]x(x-1)^2\ge{0}[/math], что равносильно [math]x\ge{0}[/math]. При условии [math]x\ge{0}[/math] получим две ветви заданного графика:

[dmath] |y|=\sqrt{x}\cdot|x-1|;\; \left[\begin{aligned} &y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|;\\ &y=\sqrt{x}\cdot|x-1|. \end{aligned}\right. [/dmath]

Эти ветви симметричны относительно оси абсцисс, при этом каждая ветвь имеет с данной осью две общие точки: [math](0;0)[/math] и [math](1;1)[/math]. Если [math]x\in(0;1)\cup(1;+\infty)[/math], то ветвь [math]y=-\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] расположена под осью Ox, а ветвь [math]y=\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] – над данной осью.

2473 (1).png

Рассматриваемые ветви образуют петлю при [math]x\in[0;1][/math]. Так как ветви симметричны относительно оси абсцисс, то искомая площадь [math]S=2S_1[/math], где [math]S_1[/math] – площадь между ветвью [math]y=\sqrt{x}\cdot|x-1|[/math] и осью Ox.

[math] S=2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot|x-1|\right)dx =2\int\limits_{0}^{1}\left(\sqrt{x}\cdot(1-x)\right)dx =2\int\limits_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{3/2}\right)dx =4\cdot\left.\left(\frac{x^{3/2}}{3}-\frac{x^{5/2}}{5}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{8}{15}. [/math]

Ответ

[math]\frac{8}{15}[/math]