№2472 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2472|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2472|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2472|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией <math>(y-x-2)^2=9x</math> и осями координат.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
Ввиду того, что <math>(y-x-2)^2\ge{0}</math>, из уравнения <math>(y-x-2)^2=9x</math> имеем <math>x\ge{0}</math>. При условии <math>x\ge{0}</math> получим:
 +
 +
<dmath>
 +
|y-x-2|=3\sqrt{x};\;
 +
 +
\left[\begin{aligned}
 +
&amp; y=x-3\sqrt{x}+2;\\
 +
&amp; y=x+3\sqrt{x}+2.
 +
\end{aligned}\right.
 +
</dmath>
 +
 +
Таким образом, график состоит из двух ветвей. Данные ветви имеют лишь одну общую точку: <math>(0;2)</math>. Если <math>x\gt{0}</math>, то для функции <math>y=x+3\sqrt{x}+2</math> имеем <math>y\gt{0}</math>, т.е. график функции <math>y=x+3\sqrt{x}+2</math> не пересекает ось абсцисс, а с осью ординат имеет общую точку <math>(0;2)</math>.
 +
 +
Рассмотрим иную ветвь: <math>y=x-3\sqrt{x}+2</math>. С осью ординат данная функция имеет общую точку <math>(0;2)</math>. Определим точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс. Полагая <math>t=\sqrt{x}</math> и решая соответствующее квадратное уравнение <math>t^2-3t+2=0</math>, получим <math>t_1=1</math>, <math>t_2=2</math>, т.е. график пересекает ось абсцисс в точках <math>(1;0)</math> и <math>(4;0)</math>. Если <math>x\in(0;1)\cup(4;+\infty)</math>, то <math>y\gt{0}</math>, а если <math>x\in(1;4)</math>, то <math>y\lt{0}</math>.
 +
 +
[[Файл:2472 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S_1=\int\limits_{0}^{1}\left(x-3x^{1/2}+2\right)dx
 +
=\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x^{3/2}+2x\right)\right|_{0}^{1}
 +
=\frac{1}{2}.
 +
</math>
 +
 +
<math>
 +
S_1=\int\limits_{1}^{4}\left(0-\left(x-3x^{1/2}+2\right)\right)dx
 +
=\int\limits_{1}^{4}\left(-x+3x^{1/2}-2\right)dx
 +
=\left.\left(-\frac{x^2}{2}+2x^{3/2}-2x\right)\right|_{1}^{4}
 +
=\frac{1}{2}.
 +
</math>
 +
 +
<dmath>
 +
S=S_1+S_2=1.
 +
</dmath>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
1
<!-- <nowiki>  [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 23:57, 29 февраля 2020

Информация о задаче

Задача №2472 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией [math](y-x-2)^2=9x[/math] и осями координат.

Решение

Ввиду того, что [math](y-x-2)^2\ge{0}[/math], из уравнения [math](y-x-2)^2=9x[/math] имеем [math]x\ge{0}[/math]. При условии [math]x\ge{0}[/math] получим:

[dmath] |y-x-2|=3\sqrt{x};\; \left[\begin{aligned} & y=x-3\sqrt{x}+2;\\ & y=x+3\sqrt{x}+2. \end{aligned}\right. [/dmath]

Таким образом, график состоит из двух ветвей. Данные ветви имеют лишь одну общую точку: [math](0;2)[/math]. Если [math]x\gt{0}[/math], то для функции [math]y=x+3\sqrt{x}+2[/math] имеем [math]y\gt{0}[/math], т.е. график функции [math]y=x+3\sqrt{x}+2[/math] не пересекает ось абсцисс, а с осью ординат имеет общую точку [math](0;2)[/math].

Рассмотрим иную ветвь: [math]y=x-3\sqrt{x}+2[/math]. С осью ординат данная функция имеет общую точку [math](0;2)[/math]. Определим точки пересечения графика этой функции с осью абсцисс. Полагая [math]t=\sqrt{x}[/math] и решая соответствующее квадратное уравнение [math]t^2-3t+2=0[/math], получим [math]t_1=1[/math], [math]t_2=2[/math], т.е. график пересекает ось абсцисс в точках [math](1;0)[/math] и [math](4;0)[/math]. Если [math]x\in(0;1)\cup(4;+\infty)[/math], то [math]y\gt{0}[/math], а если [math]x\in(1;4)[/math], то [math]y\lt{0}[/math].

2472 (1).png

[math] S_1=\int\limits_{0}^{1}\left(x-3x^{1/2}+2\right)dx =\left.\left(\frac{x^2}{2}-2x^{3/2}+2x\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{2}. [/math]

[math] S_1=\int\limits_{1}^{4}\left(0-\left(x-3x^{1/2}+2\right)\right)dx =\int\limits_{1}^{4}\left(-x+3x^{1/2}-2\right)dx =\left.\left(-\frac{x^2}{2}+2x^{3/2}-2x\right)\right|_{1}^{4} =\frac{1}{2}. [/math]

[dmath] S=S_1+S_2=1. [/dmath]

Ответ

1