№2471 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2471|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2471|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2471|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
# Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией <math>y=x-x^2\sqrt{x}</math>.
 +
# Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии <math>(y-x)^2=x^5</math> и прямой <math>x=4</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
=== Пункт №1 ===
 +
Область определения данной функции: <math>D(y)=[0;+\infty)</math>. Если <math>x=0</math>, то <math>y=0</math>, т.е. точка <math>(0;0)</math> принадлежит графику функции. Найдём иные точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Полагая <math>x\gt{0}</math>, получим:
 +
 +
<dmath>
 +
x-x^2\sqrt{x}=0;\;
 +
x\sqrt{x}=1;\;
 +
x^{\frac{3}{2}}=1;\;
 +
x=1.
 +
</dmath>
 +
 +
График пересекает ось абсцисс в точках <math>(0;0)</math> и <math>(1;0)</math>. Если <math>0\lt{x}\lt{1}</math>, то <math>y\gt{0}</math>, т.е. график лежит над осью абсцисс; если <math>x\gt{1}</math>, то <math>y\lt{0}</math>, т.е. график лежит под осью абсцисс.
 +
 +
[[Файл:2471 1 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S=\int\limits_{0}^{1}\left(x-x^{\frac{5}{2}}\right)dx
 +
=\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2x^{5/7}}{7}\right)\right|_{0}^{1}
 +
=\frac{3}{14}.
 +
</math>
 +
 +
=== Пункт №2 ===
 +
Так как <math>(y-x)^2\ge{0}</math>, то <math>x^5\ge{0}</math>, т.е. <math>x\ge{0}</math>. Из уравнения <math>(y-x)^2=x^5</math> имеем:
 +
 +
<dmath>
 +
|y-x|=x^2\sqrt{x};\;
 +
 +
\left[\begin{aligned}
 +
&amp; y-x=-x^2\sqrt{x};\\
 +
&amp; y-x=x^2\sqrt{x}.\\
 +
\end{aligned}\right.\;
 +
 +
\left[\begin{aligned}
 +
&amp; y=x-x^2\sqrt{x};\\
 +
&amp; y=x+x^2\sqrt{x}.\\
 +
\end{aligned}\right.
 +
</dmath>
 +
 +
Получили уравнения двух веток функции. Данные ветки имеют лишь одну общую точку: <math>(0;0)</math>.
 +
 +
[[Файл:2471 2 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S=\int\limits_{0}^{4}\left(x+x^2\sqrt{x}-\left(x-x^2\sqrt{x}\right)\right)dx
 +
=2\int\limits_{0}^{4}x^{5/2}dx
 +
=\frac{4}{7}\cdot\left.x^{7/2}\right|_{0}^{4}
 +
=73\frac{1}{7}.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
# <math>\frac{3}{14}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
# <math>73\frac{1}{7}</math>
 +
 
 +
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 23:20, 29 февраля 2020

Информация о задаче

Задача №2471 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

  1. Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и линией [math]y=x-x^2\sqrt{x}[/math].
  2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя ветвями линии [math](y-x)^2=x^5[/math] и прямой [math]x=4[/math].

Решение

Пункт №1

Область определения данной функции: [math]D(y)=[0;+\infty)[/math]. Если [math]x=0[/math], то [math]y=0[/math], т.е. точка [math](0;0)[/math] принадлежит графику функции. Найдём иные точки пересечения графика функции с осью абсцисс. Полагая [math]x\gt{0}[/math], получим:

[dmath] x-x^2\sqrt{x}=0;\; x\sqrt{x}=1;\; x^{\frac{3}{2}}=1;\; x=1. [/dmath]

График пересекает ось абсцисс в точках [math](0;0)[/math] и [math](1;0)[/math]. Если [math]0\lt{x}\lt{1}[/math], то [math]y\gt{0}[/math], т.е. график лежит над осью абсцисс; если [math]x\gt{1}[/math], то [math]y\lt{0}[/math], т.е. график лежит под осью абсцисс.

2471 1 (1).png

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(x-x^{\frac{5}{2}}\right)dx =\left.\left(\frac{x^2}{2}-\frac{2x^{5/7}}{7}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{3}{14}. [/math]

Пункт №2

Так как [math](y-x)^2\ge{0}[/math], то [math]x^5\ge{0}[/math], т.е. [math]x\ge{0}[/math]. Из уравнения [math](y-x)^2=x^5[/math] имеем:

[dmath] |y-x|=x^2\sqrt{x};\; \left[\begin{aligned} & y-x=-x^2\sqrt{x};\\ & y-x=x^2\sqrt{x}.\\ \end{aligned}\right.\; \left[\begin{aligned} & y=x-x^2\sqrt{x};\\ & y=x+x^2\sqrt{x}.\\ \end{aligned}\right. [/dmath]

Получили уравнения двух веток функции. Данные ветки имеют лишь одну общую точку: [math](0;0)[/math].

2471 2 (1).png

[math] S=\int\limits_{0}^{4}\left(x+x^2\sqrt{x}-\left(x-x^2\sqrt{x}\right)\right)dx =2\int\limits_{0}^{4}x^{5/2}dx =\frac{4}{7}\cdot\left.x^{7/2}\right|_{0}^{4} =73\frac{1}{7}. [/math]

Ответ

  1. [math]\frac{3}{14}[/math]
  2. [math]73\frac{1}{7}[/math]