№2469 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(08)(1)}}{{(01)(08)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2469|1|8|"Применения интеграла"}} == Условие за…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2469|1|8|"Применения интеграла"}}
 
{{info(1)|2469|1|8|"Применения интеграла"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией <math>x=y^2(y-1)</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
Найдём точки пересечения графика функции <math>x=y^2(y-1)</math> с осью Oy:
 +
 +
<dmath>
 +
y^2(y-1)=0;\\
 +
y_1=0;\;y_2=1.
 +
</dmath>
 +
 +
Если <math>y\gt{1}</math>, то <math>x\gt{0}</math>, т.е. график лежит справа от оси ординат; если <math>0\lt{y}\lt{1}</math> или <math>y\lt{0}</math>, то <math>x\lt{0}</math>, т.е. график лежит слева от оси ординат.
 +
 +
[[Файл:2469 (1).png|центр]]
 +
 +
<math>
 +
S=\int\limits_{0}^{1}\left(0-y^2(y-1)\right)dy
 +
=\int\limits_{0}^{1}\left(-y^3+y^2\right)dy
 +
=\left.\left(-\frac{y^4}{4}+\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1}
 +
=\frac{1}{12}.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\frac{1}{12}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №08) (1)|№]]

Текущая версия на 22:40, 29 февраля 2020

Информация о задаче

Задача №2469 параграфа №1 главы №8 "Применения интеграла" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ординат и линией [math]x=y^2(y-1)[/math].

Решение

Найдём точки пересечения графика функции [math]x=y^2(y-1)[/math] с осью Oy:

[dmath] y^2(y-1)=0;\\ y_1=0;\;y_2=1. [/dmath]

Если [math]y\gt{1}[/math], то [math]x\gt{0}[/math], т.е. график лежит справа от оси ординат; если [math]0\lt{y}\lt{1}[/math] или [math]y\lt{0}[/math], то [math]x\lt{0}[/math], т.е. график лежит слева от оси ординат.

2469 (1).png

[math] S=\int\limits_{0}^{1}\left(0-y^2(y-1)\right)dy =\int\limits_{0}^{1}\left(-y^3+y^2\right)dy =\left.\left(-\frac{y^4}{4}+\frac{y^3}{3}\right)\right|_{0}^{1} =\frac{1}{12}. [/math]

Ответ

[math]\frac{1}{12}[/math]