№2253 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(07)(1)}}{{(01)(07)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2253|1|7|"Способы вычисления определённых ин…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2253|1|7|"Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы"}}
 
{{info(1)|2253|1|7|"Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Вычислить интеграл <math>\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<math>
 +
\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx
 +
\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}\sin^2{x}}dx
 +
=\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin{x}|\sqrt{\cos{x}}dx
 +
=2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin{x}\sqrt{\cos{x}}dx
 +
=-2\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos{x}\right)^{1/2}d(\cos{x})
 +
=-\frac{4}{3}\cdot\left.(\cos{x})^{3/2}\right|_{0}^{\pi/2}
 +
=\frac{4}{3}.
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\frac{4}{3}</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №01 (Глава №07) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №01 (Глава №07) (1)|№]]

Текущая версия на 13:59, 7 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2253 параграфа №1 главы №7 "Способы вычисления определённых интегралов. Несобственные интегралы" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Вычислить интеграл [math]\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx[/math].

Решение

[math] \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}-\cos^3{x}}dx \int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{\cos{x}\sin^2{x}}dx =\int\limits_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin{x}|\sqrt{\cos{x}}dx =2\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin{x}\sqrt{\cos{x}}dx =-2\int\limits_{0}^{\pi/2}\left(\cos{x}\right)^{1/2}d(\cos{x}) =-\frac{4}{3}\cdot\left.(\cos{x})^{3/2}\right|_{0}^{\pi/2} =\frac{4}{3}. [/math]

Ответ

[math]\frac{4}{3}[/math]