№2222 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2222|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2222|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2222|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
В принципе,если принять <math>t=e^x</math>, то придём к интегралу от функции <math>\frac{1}{t\sqrt{1+t+t^2}}</math>, где <math>t\gt{0}</math>. Для дальнейшего решения можно заменить <math>z=\frac{1}{t}</math>. Мне кажется более рациональным просто домножить числитель и знаменатель на <math>e^{-x}</math>.
 +
 +
<math>
 +
\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}
 +
=\int\frac{e^{-x}dx}{ \sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}}
 +
=-\int\frac{d\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)}{ \sqrt{\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} }
 +
=-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 09:54, 27 июня 2020

Информация о задаче

Задача №2222 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}}[/math].

Решение

В принципе,если принять [math]t=e^x[/math], то придём к интегралу от функции [math]\frac{1}{t\sqrt{1+t+t^2}}[/math], где [math]t\gt{0}[/math]. Для дальнейшего решения можно заменить [math]z=\frac{1}{t}[/math]. Мне кажется более рациональным просто домножить числитель и знаменатель на [math]e^{-x}[/math].

[math] \int\frac{dx}{\sqrt{1+e^x+e^{2x}}} =\int\frac{e^{-x}dx}{ \sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}} =-\int\frac{d\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)}{ \sqrt{\left(e^{-x}+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}} } =-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C [/math]

Ответ

[math]-\ln\left(e^{-x}+\frac{1}{2}+\sqrt{e^{-2x}+e^{-x}+1}\right)+C[/math]