№2220 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2220|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2220|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2220|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<math>
 +
\int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4}
 +
=\int\frac{2^xdx}{2^x\left(1-2^x\right)^4}
 +
=\left[\begin{aligned}
 +
&amp; t=1-2^x;\;2^x=1-t.\\
 +
&amp; dt=-2^x\ln{2}dx;\; 2^xdx=-\frac{dt}{\ln{2}}.
 +
\end{aligned}\right]
 +
=\frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4}.
 +
</math>
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{(t-1)t^4}
 +
=\frac{A_0}{t-1}+\frac{A_1}{t}+\frac{A_2}{t^2}+\frac{A_3}{t^3}+\frac{A_4}{t^4}
 +
=\frac{A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)}{(t-1)t^4}
 +
</dmath>
 +
 +
<dmath>
 +
\begin{aligned}
 +
&amp;1=A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)\\
 +
&amp;t=1;\;A_0=1.
 +
\end{aligned}
 +
</dmath>
 +
 +
Подставляя <math>A_0=1</math>, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
1-t^4=A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1);\\
 +
-t^3-t^2-t-1=A_1t^3+A_2t^2+A_3t+A_4;\\
 +
A_1=-1;\;A_2=-1;\;A_3=-1;\;A_4=-1.
 +
</dmath>
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{(t-1)t^4}
 +
=\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4}
 +
</dmath>
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4}
 +
=\frac{1}{\ln{2}}\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4}\right)dt=\\
 +
 +
=\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\ln|t-1|-\ln|t|+\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{3t^3}\right)+C
 +
=x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C
 +
</dmath>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>=x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Версия 12:49, 2 мая 2020

Информация о задаче

Задача №2220 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{\left(1-2^x\right)^4} =\int\frac{2^xdx}{2^x\left(1-2^x\right)^4} =\left[\begin{aligned} & t=1-2^x;\;2^x=1-t.\\ & dt=-2^x\ln{2}dx;\; 2^xdx=-\frac{dt}{\ln{2}}. \end{aligned}\right] =\frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4}. [/math]

[dmath] \frac{1}{(t-1)t^4} =\frac{A_0}{t-1}+\frac{A_1}{t}+\frac{A_2}{t^2}+\frac{A_3}{t^3}+\frac{A_4}{t^4} =\frac{A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)}{(t-1)t^4} [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} &1=A_0t^4+A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1)\\ &t=1;\;A_0=1. \end{aligned} [/dmath]

Подставляя [math]A_0=1[/math], будем иметь:

[dmath] 1-t^4=A_1(t-1)t^3+A_2(t-1)t^2+A_3(t-1)t+A_4(t-1);\\ -t^3-t^2-t-1=A_1t^3+A_2t^2+A_3t+A_4;\\ A_1=-1;\;A_2=-1;\;A_3=-1;\;A_4=-1. [/dmath]

[dmath] \frac{1}{(t-1)t^4} =\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4} [/dmath]

[dmath] \frac{1}{\ln{2}}\int\frac{dt}{(t-1)t^4} =\frac{1}{\ln{2}}\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{t^3}-\frac{1}{t^4}\right)dt=\\ =\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\ln|t-1|-\ln|t|+\frac{1}{t}+\frac{1}{2t^2}+\frac{1}{3t^3}\right)+C =x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C [/dmath]

Ответ

[math]=x-\log_2\left|1-2^x\right|+\frac{1}{\ln{2}}\cdot\left(\frac{1}{1-2^x}+\frac{1}{2\left(1-2^x\right)^2}+\frac{1}{3\left(1-2^x\right)^3}\right)+C[/math]