№2158 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2158|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2158|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2158|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\sqrt{x^2-2x-1}dx</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
В ходе решения этой задачи будем использовать такой интеграл:
 +
 +
<dmath>
 +
\int\sqrt{x^2+k}dx
 +
=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C
 +
</dmath>
 +
 +
Этот интеграл был рассмотрен в [[№2464_(1)|№2464]].
 +
 +
 +
<math>
 +
\int\sqrt{x^2-2x-1}dx
 +
=\int\sqrt{(x-1)^2-2}dx
 +
=\left[z=x-1\right]
 +
=\int\sqrt{z^2-2}dz
 +
=\frac{1}{2}z\sqrt{z^2-2}-\ln\left|z+\sqrt{z^2-2}\right|+C
 +
=\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 19:45, 28 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2158 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\sqrt{x^2-2x-1}dx[/math].

Решение

В ходе решения этой задачи будем использовать такой интеграл:

[dmath] \int\sqrt{x^2+k}dx =\frac{1}{2}x\sqrt{x^2+k}+\frac{k}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^2+k}\right|+C [/dmath]

Этот интеграл был рассмотрен в №2464.


[math] \int\sqrt{x^2-2x-1}dx =\int\sqrt{(x-1)^2-2}dx =\left[z=x-1\right] =\int\sqrt{z^2-2}dz =\frac{1}{2}z\sqrt{z^2-2}-\ln\left|z+\sqrt{z^2-2}\right|+C =\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C [/math]

Ответ

[math]\frac{x-1}{2}\sqrt{x^2-2x-1}-\ln\left|x-1+\sqrt{x^2-2x-1}\right|+C[/math]