№2151 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2151|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2151|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2151|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<math>
 +
\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}
 +
=\int\frac{dx}{x\cdot|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}
 +
=\sgn{x}\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}
 +
=\left[t=\frac{1}{x}\right]=\\
 +
 +
=-\sgn{x}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}
 +
=-\sgn{x}\int\frac{d\left(t+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}}
 +
=-\sgn{x}\cdot\ln\left(t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1}\right)
 +
=-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C.
 +
 +
</math>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 14:46, 21 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2151 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}}[/math].

Решение

[math] \int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+x+1}} =\int\frac{dx}{x\cdot|x|\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} =\sgn{x}\int\frac{dx}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}} =\left[t=\frac{1}{x}\right]=\\ =-\sgn{x}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}} =-\sgn{x}\int\frac{d\left(t+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{\left(t+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}} =-\sgn{x}\cdot\ln\left(t+\frac{1}{2}+\sqrt{t^2+t+1}\right) =-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C. [/math]

Ответ

[math]-\sgn{x}\cdot\ln\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right)+C[/math]