№2102 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2102|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2102|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2102|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{\sin^3{x}}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
В принципе, здесь можно сделать стандартную подстановку <math>t=\tg\frac{x}{2}</math>, после которой мы получим такой интеграл:
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{4}\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}dt
 +
</dmath>
 +
 +
Дальнейшее вычисление стандартно - раскрыть скобки, разделить почленно и т.д. Поинтереснее мне кажется вариант применения формулы интегрирования по частям:
 +
 +
<dmath>
 +
\int\frac{dx}{\sin^3{x}}
 +
=-\int\frac{1}{\sin{x}}d\left(\ctg{x}\right)
 +
=-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\frac{\cos^2{x}}{\sin^3{x}}dx=\\
 +
 +
=-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\left(\frac{1}{\sin^3{x}}-\frac{1}{\sin{x}}\right)dx
 +
=-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}-\int\frac{dx}{\sin^3{x}}+\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|
 +
</dmath>
 +
 +
Из последнего равенства имеем:
 +
 +
<dmath>
 +
\int\frac{dx}{\sin^3{x}}
 +
=-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C
 +
</dmath>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
<math>-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C</math>
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 17:47, 31 марта 2020

Информация о задаче

Задача №2102 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\sin^3{x}}[/math].

Решение

В принципе, здесь можно сделать стандартную подстановку [math]t=\tg\frac{x}{2}[/math], после которой мы получим такой интеграл:

[dmath] \frac{1}{4}\int\frac{\left(1+t^2\right)^2}{t^3}dt [/dmath]

Дальнейшее вычисление стандартно - раскрыть скобки, разделить почленно и т.д. Поинтереснее мне кажется вариант применения формулы интегрирования по частям:

[dmath] \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =-\int\frac{1}{\sin{x}}d\left(\ctg{x}\right) =-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\frac{\cos^2{x}}{\sin^3{x}}dx=\\ =-\frac{1}{\sin{x}}\cdot\ctg{x}-\int\left(\frac{1}{\sin^3{x}}-\frac{1}{\sin{x}}\right)dx =-\frac{\cos{x}}{\sin^2{x}}-\int\frac{dx}{\sin^3{x}}+\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right| [/dmath]

Из последнего равенства имеем:

[dmath] \int\frac{dx}{\sin^3{x}} =-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C [/dmath]

Ответ

[math]-\frac{\cos{x}}{2\sin^2{x}}+\frac{1}{2}\ln\left|\tg\frac{x}{2}\right|+C[/math]