№2044 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2044|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2044|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2044|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
 +
=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}
 +
=\frac{A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
 +
</dmath>
 +
 +
 +
<dmath>
 +
3x^2+x+3=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3
 +
</dmath>
 +
 +
Подставляя <math>x=1</math>, получим <math>C=\frac{7}{2}</math>. Подставляя <math>C=\frac{7}{2}</math> и упрощая, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
3x^2+x+3-\frac{7}{2}\left(x^2+1\right)=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3\\
 +
-\frac{x-1}{2}=A(x-1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^2
 +
</dmath>
 +
 +
Вновь подставляя <math>x=1</math>, имеем <math>B=0</math>. После подстановки <math>B=0</math> и упрощения, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
-\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)
 +
</dmath>
 +
 +
Подставляем <math>x=1</math> и получаем <math>A=-\frac{1}{4}</math>. Подставляем <math>A=-\frac{1}{4}</math> и упрощаем:
 +
 +
<dmath>
 +
-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(x^2+1\right)=(Dx+E)(x-1)\\
 +
\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}=Dx+E.
 +
</dmath>
 +
 +
Отсюда имеем: <math>D=\frac{1}{4}</math>, <math>E=\frac{1}{4}</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}
 +
=\int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\
 +
 +
=-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C.
 +
</dmath>
 +
 +
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
 
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
<math>-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C</math>
 +
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 10:30, 1 июля 2020

Информация о задаче

Задача №2044 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{3x^2+x+3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1} =\frac{A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} [/dmath]


[dmath] 3x^2+x+3=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+C\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3 [/dmath]

Подставляя [math]x=1[/math], получим [math]C=\frac{7}{2}[/math]. Подставляя [math]C=\frac{7}{2}[/math] и упрощая, будем иметь:

[dmath] 3x^2+x+3-\frac{7}{2}\left(x^2+1\right)=A(x-1)^2\left(x^2+1\right)+B(x-1)\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^3\\ -\frac{x-1}{2}=A(x-1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1)^2 [/dmath]

Вновь подставляя [math]x=1[/math], имеем [math]B=0[/math]. После подстановки [math]B=0[/math] и упрощения, будем иметь:

[dmath] -\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Dx+E)(x-1) [/dmath]

Подставляем [math]x=1[/math] и получаем [math]A=-\frac{1}{4}[/math]. Подставляем [math]A=-\frac{1}{4}[/math] и упрощаем:

[dmath] -\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\left(x^2+1\right)=(Dx+E)(x-1)\\ \frac{1}{4}x+\frac{1}{4}=Dx+E. [/dmath]

Отсюда имеем: [math]D=\frac{1}{4}[/math], [math]E=\frac{1}{4}[/math].

[dmath] \int\frac{\left(3x^2+x+3\right)dx}{(x-1)^3\left(x^2+1\right)} =\int\left(-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{(x-1)^3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{x}{x^2+1}+\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx=\\ =-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C. [/dmath]


Ответ

[math]-\frac{1}{4}\ln|x-1|-\frac{7}{4(x-1)^2}+\frac{1}{8}\ln\left(x^2+1\right)+\frac{1}{4}\arctg{x}+C[/math]