№2043 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2043|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2043|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2043|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
 +
=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}
 +
=\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
 +
</dmath>
 +
 +
 +
<dmath>
 +
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2
 +
</dmath>
 +
 +
Подставляя <math>x=-1</math>, получим <math>B=\frac{1}{2}</math>. Подставляя <math>B=\frac{1}{2}</math> и упрощая, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2;\\
 +
-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1).
 +
</dmath>
 +
 +
Вновь подставляя <math>x=-1</math> имеем <math>A=\frac{1}{2}</math>. После подстановки <math>A=\frac{1}{2}</math> и упрощая, будем иметь:
 +
 +
<dmath>
 +
-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1);\\
 +
-\frac{1}{2}x=Cx+D.
 +
</dmath>
 +
 +
Отсюда имеем: <math>C=-\frac{1}{2}</math>, <math>D=0</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
\int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}
 +
=\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}\right)dx
 +
=\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C.
 +
</dmath>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
 
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
<math>\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C</math>
 +
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Версия 22:53, 29 июня 2020

Информация о задаче

Задача №2043 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1} =\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} [/dmath]


[dmath] 1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+B\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2 [/dmath]

Подставляя [math]x=-1[/math], получим [math]B=\frac{1}{2}[/math]. Подставляя [math]B=\frac{1}{2}[/math] и упрощая, будем иметь:

[dmath] 1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1)^2;\\ -\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=A\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1). [/dmath]

Вновь подставляя [math]x=-1[/math] имеем [math]A=\frac{1}{2}[/math]. После подстановки [math]A=\frac{1}{2}[/math] и упрощая, будем иметь:

[dmath] -\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)+(Cx+D)(x+1);\\ -\frac{1}{2}x=Cx+D. [/dmath]

Отсюда имеем: [math]C=-\frac{1}{2}[/math], [math]D=0[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{(x+1)^2\left(x^2+1\right)} =\int\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{(x+1)^2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}\right)dx =\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C. [/dmath]

Ответ

[math]\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)+C[/math]