№2042 (1): различия между версиями
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску
(Новая страница: «{{(1)}}{{(06)(1)}}{{(03)(06)(1)}} == Информация о задаче == {{info(1)|2042|3|6|"Неопределённый интеграл. Интеграль…»)
 
 
Строка 3: Строка 3:
 
{{info(1)|2042|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
{{info(1)|2042|3|6|"Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление"}}
 
== Условие задачи ==
 
== Условие задачи ==
 +
Найти интеграл <math>\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}</math>.
 
== Решение ==
 
== Решение ==
 +
 +
<dmath>
 +
\frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}
 +
=\frac{1}{x(x+1)\left(x^2+1\right)}
 +
=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}
 +
=\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)}{x(x+1)\left(x^2+1\right)}
 +
</dmath>
 +
 +
 +
<dmath>
 +
1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)
 +
</dmath>
 +
 +
<dmath>
 +
\begin{aligned}
 +
&amp; x=0;\;A=1.\\
 +
&amp; x=-1;\;1=-2B;\;B=-\frac{1}{2}.\\
 +
&amp; x=1;\;1=2C+2D+3;\;C+D=-1.\\
 +
&amp; x=3;\;1=36C+12D+25;\;3C+D=-2.
 +
\end{aligned}
 +
</dmath>
 +
 +
Из двух полученных уравнений имеем <math>C=D=-\frac{1}{2}</math>.
 +
 +
<dmath>
 +
\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}
 +
=\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx
 +
=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C
 +
</dmath>
 +
 
== Ответ ==
 
== Ответ ==
{{not_solved(1)}}
+
 
<!-- <nowiki> [[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]] </nowiki> -->
+
<math>\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C</math>
 +
 
 +
[[Категория:Параграф №03 (Глава №06) (1)|№]]

Текущая версия на 09:12, 28 июня 2020

Информация о задаче

Задача №2042 параграфа №3 главы №6 "Неопределённый интеграл. Интегральное исчисление" книги Г.Н. Бермана "Сборник задач по курсу математического анализа" (22-е издание, 2002 год).

Условие задачи

Найти интеграл [math]\int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}[/math].

Решение

[dmath] \frac{1}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)} =\frac{1}{x(x+1)\left(x^2+1\right)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1} =\frac{A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1)}{x(x+1)\left(x^2+1\right)} [/dmath]


[dmath] 1=A(x+1)\left(x^2+1\right)+Bx\left(x^2+1\right)+(Cx+D)x(x+1) [/dmath]

[dmath] \begin{aligned} & x=0;\;A=1.\\ & x=-1;\;1=-2B;\;B=-\frac{1}{2}.\\ & x=1;\;1=2C+2D+3;\;C+D=-1.\\ & x=3;\;1=36C+12D+25;\;3C+D=-2. \end{aligned} [/dmath]

Из двух полученных уравнений имеем [math]C=D=-\frac{1}{2}[/math].

[dmath] \int\frac{dx}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)} =\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+1}\right)dx =\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C [/dmath]

Ответ

[math]\ln|x|-\frac{1}{2}\ln|x+1|-\frac{1}{4}\ln\left(x^2+1\right)-\frac{1}{2}\arctg{x}+C[/math]