09 038 (2)
Реклама

Материал из Решебника
Перейти к навигации Перейти к поиску

Информация о задаче

Задача №38 параграфа №9 "Предел функции" книги Кудрявцева Л.Д., Кутасова А.Д., Чехлова В.И., Шабунина М.И. "Сборник задач по математическому анализу" (том №1, 2003 г.).

Условие задачи

Найти пределы функций:

  1. [math]\lim_{x\to{a}}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a}[/math]; [math]a\gt{0}[/math].
  2. [math]\lim_{x\to{0}}\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}}[/math]; [math]a\gt{0}[/math]; [math]b\gt{0}[/math]; [math]a\neq{0}[/math].
  3. [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}}[/math]; [math]a\gt{0}[/math]; [math]b\gt{0}[/math].
  4. [math]\lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{\frac{1}{x}}[/math]; [math]a\gt{0}[/math]; [math]b\gt{0}[/math].

Решение

Пункт №1

Так как при [math]x\to{0}[/math] имеем [math]a^x-x^a\to{0}[/math], то получим:

[math] \lim_{x\to{a}}\frac{a^{a^x}-a^{x^a}}{a^x-x^a} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{a}}\left(a^{x^a}\cdot\frac{a^{a^x-x^a}-1}{a^x-x^a}\right) =a^{a^a}\ln{a}. [/math]

Пункт №2

В решении будет использовано обозначение [math]t=\frac{a}{b}[/math].

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{\left(a^x-b^x\right)^2}{a^{x^2}-b^{x^2}} =\left[\frac{0}{0}\right] =\lim_{x\to{0}}\frac{b^{2x}\cdot\left(t^x-1\right)^2}{b^{x^2}\cdot\left(t^{x^2}-1\right)} =\lim_{x\to{0}}\left( b^{2x-x^2}\cdot\frac{\left(\frac{t^x-1}{x}\right)^2}{\frac{t^{x^2}-1}{x^2}} \right) =1\cdot\frac{\ln^2{t}}{\ln{t}} =\ln\frac{a}{b}. [/math]

Пункт №3

Судя по ответу, в этом примере есть две опечатки условия: в основании степени должно стоять [math]b^x[/math], а не [math]b^2[/math], а в самой степени вместо [math]\frac{1}{x^2}[/math] должно быть [math]\frac{1}{x}[/math].

Рассмотрим один вспомогательный предел:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{a^x+b^x-2}{2x} =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{a^x-1}{x}+\frac{1}{2}\cdot\frac{b^x-1}{x}\right) =\frac{1}{2}(\ln{a}+\ln{b}) =\ln\sqrt{ab}. [/math]

Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{\frac{1}{x}} =\left[1^{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(1+\frac{a^x+b^x-2}{2}\right)^{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to{0}}\left(\left(1+\frac{a^x+b^x-2}{2}\right)^{\frac{2}{a^x+b^x-2}}\right)^{\frac{a^x+b^x-2}{2x}} =e^{\ln\sqrt{ab }} =\sqrt{ab}. [/math]

Пункт №4

В решении будет использовано обозначение [math]t=\frac{a}{b}[/math]. И рассмотрим один вспомогательный предел, чтобы впоследствии не загромождать записи:

[math] \lim_{x\to{0}}\frac{t^{x+1}-t}{(t+1)x} =\lim_{x\to{0}}\left(\frac{t}{t+1}\cdot\frac{t^x-1}{x}\right) =\frac{t}{t+1}\ln{t} =\frac{a}{a+b}\ln\frac{a}{b}. [/math]


Возвращаясь к исходному пределу, получим:

[math] \lim_{x\to{0}}\left(\frac{a^{x+1}+b^{x+1}}{a+b}\right)^{\frac{1}{x}} =\left[1^{\infty}\right] =\lim_{x\to{0}}\left(\left(\frac{b^{x+1}}{b}\right)^{\frac{1}{x}}\cdot\left(\frac{t^{x+1}+1}{t+1}\right)^{\frac{1}{x}}\right)=\\ =\lim_{x\to{0}}\left(b\cdot\left(\left(1+\frac{t^{x+1}-t}{t+1}\right)^{\frac{t+1}{t^{x+1}-t}}\right)^{\frac{t^{x+1}-t}{(t+1)x}}\right) =b\cdot{e^{\frac{a}{a+b}\ln\frac{a}{b}}} =b\cdot\left(e^{\ln\frac{a}{b}}\right)^{\frac{a}{a+b}} =b\cdot\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{a}{a+b}} =a^{\frac{a}{a+b}}\cdot{b^{\frac{b}{a+b}}} [/math]

Ответ

  1. [math]a^{a^a}\ln{a}[/math]
  2. [math]\ln\frac{a}{b}[/math]
  3. [math]\sqrt{ab}[/math]
  4. [math]a^{\frac{a}{a+b}}\cdot{b^{\frac{b}{a+b}}}[/math]